信号処理・通信工学の問題

搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ の振幅変調（DSB-LC、通常の AM）波
$$s(t)=A\left[1+m_1\cos (2\pi f_{1}t)+m_2\cos (2\pi f_{2}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を考える。ここで $A=100\text{V}$、$m_1=0.3$、$m_2=0.4$、$f_1=1\text{kHz}$、$f_2=3\text{kHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。この電圧 $s(t)$ を $R=50\Omega$ の抵抗に加えたとき、抵抗で消費される平均電力（単位は W）を分数または小数の正確な値で求めよ。平均は十分長い時間についてとるものとする。

AM 送信機の出力電圧が
$$v(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
で表され、$A=100\text{V}$、変調度 $m=0.6$、信号周波数 $f_m=5\text{kHz}$、搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ である。この電圧を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

搬送波の振幅 $A=20\text{V}$、搬送波周波数 $f_c=10\text{MHz}$、周波数感度 $k_f=6\text{kHz/V}$ の周波数変調（FM）器に、変調信号
$$m(t)=0.5\cos (2\pi f_{m}t)\text{V},f_m=1.5\text{kHz}$$
を入力する。FM 波の瞬時周波数は $f_c+k_{f}m(t)$ であり、FM 波は
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t)\right)$$
と書ける（$\beta$ は変調指数）。この FM 波を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加える。

この FM 波を、カーソンの法則で見積もった帯域幅 $B$ をもち、通過帯域が $f_c-\frac{B}{2}\le f\le f_c+\frac{B}{2}$（両端を含む）である理想帯域通過フィルタに通す。フィルタを通過した成分が負荷で消費する平均電力は何 W か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、$s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \left(2\pi (f_c+n{f}_m)t\right)$（$J_n$ は第 1 種ベッセル関数、$J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）を用いてよく、$\beta =2$ のときの値として
$$J_0(2)=0.2239,J_1(2)=0.5767,J_2(2)=0.3528,J_3(2)=0.1289$$
を用いよ。