信号処理・通信工学の問題

搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ の振幅変調（DSB-LC、通常の AM）波
$$s(t)=A\left[1+m_1\cos (2\pi f_{1}t)+m_2\cos (2\pi f_{2}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を考える。ここで $A=100\text{V}$、$m_1=0.3$、$m_2=0.4$、$f_1=1\text{kHz}$、$f_2=3\text{kHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。この電圧 $s(t)$ を $R=50\Omega$ の抵抗に加えたとき、抵抗で消費される平均電力（単位は W）を分数または小数の正確な値で求めよ。平均は十分長い時間についてとるものとする。

ある AM 送信機は、正弦波 1 つで変調した通常の振幅変調（DSB-LC）波
$$s(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を、抵抗値が一定の純抵抗の負荷（アンテナを抵抗とみなしたもの）に送り出す。ここで $t$ は時刻、$A>0$ は搬送波の振幅、$f_c$ は搬送波周波数、$f_m$ は変調信号の周波数で $0<f_m\ll f_c$、$m$ は変調指数で $0<m\le 1$ とする。

変調をかけない（$m=0$ の）とき、負荷に供給される平均電力は $400\text{W}$ であった。搬送波の振幅 $A$ を変えずに変調をかけたところ、負荷に供給される平均電力は $472\text{W}$ になった。変調指数 $m$ を既約分数で求めよ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

搬送波の振幅 $A=20\text{V}$、搬送波周波数 $f_c=10\text{MHz}$、周波数感度 $k_f=6\text{kHz/V}$ の周波数変調（FM）器に、変調信号
$$m(t)=0.5\cos (2\pi f_{m}t)\text{V},f_m=1.5\text{kHz}$$
を入力する。FM 波の瞬時周波数は $f_c+k_{f}m(t)$ であり、FM 波は
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t)\right)$$
と書ける（$\beta$ は変調指数）。この FM 波を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加える。

この FM 波を、カーソンの法則で見積もった帯域幅 $B$ をもち、通過帯域が $f_c-\frac{B}{2}\le f\le f_c+\frac{B}{2}$（両端を含む）である理想帯域通過フィルタに通す。フィルタを通過した成分が負荷で消費する平均電力は何 W か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、$s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \left(2\pi (f_c+n{f}_m)t\right)$（$J_n$ は第 1 種ベッセル関数、$J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）を用いてよく、$\beta =2$ のときの値として
$$J_0(2)=0.2239,J_1(2)=0.5767,J_2(2)=0.3528,J_3(2)=0.1289$$
を用いよ。