振幅変調の帯域幅と電力

AM 波 $A [1 + m cos (2 π f_{m} t)] cos (2 π f_{c} t)$ を積和の公式で搬送波と側帯波に分け、占有帯域幅 $2 f_{m}$ と平均電力 $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{m ^{2}}{2})$ （複数の変調波なら $m^{2}$ を $\sum m_{i}^{2}$ に置き換え）を求められる

前提

交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流）

説明

AM ラジオでは、音声などの信号（変調波、周波数 $f_{m}$ ）で高い周波数 $f_{c}$ の正弦波（搬送波）の振幅を変化させて送ります。これを振幅変調（AM）といい、AM 波は $A [1 + m cos (2 π f_{m} t)] cos (2 π f_{c} t)$ と書けます（ $m$ は変調度で、ふつう $0 < m \leq 1$ ）。この技能では、積和の公式で AM 波を 3 つの正弦波（搬送波と上下の側帯波）に分け、電波が占める周波数の幅（占有帯域幅 $2 f_{m}$ ）と、抵抗 $R$ に加えたときの平均電力を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

積和の公式 $cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$ を使うと
$A [1 + m cos (2 π f_{m} t)] cos (2 π f_{c} t) = A cos (2 π f_{c} t) + \frac{m A}{2} cos {2 π (f_{c} + f_{m}) t} + \frac{m A}{2} cos {2 π (f_{c} - f_{m}) t}$
となります。第 1 項が振幅 $A$ の搬送波、残りの 2 つが周波数 $f_{c} + f_{m}$ の上側波と $f_{c} - f_{m}$ の下側波（合わせて側帯波）で、どちらも振幅は $\frac{m A}{2}$ です。AM 波は、周波数 $f_{c} - f_{m}$ から $f_{c} + f_{m}$ までの 3 本の正弦波からなるので、占める周波数の幅（占有帯域幅）は $(f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2 f_{m}$ です。

振幅 $a$ の正弦波の電圧を抵抗 $R$ に加えると、実効値は $a / 2$ なので平均電力は $\frac{( a / 2 ) ^{2}}{R} = \frac{a ^{2}}{2 R}$ です。周波数の異なる正弦波の和の場合、瞬間の電力 $\frac{v ^{2}}{R}$ を展開すると、各正弦波の 2 乗の項と、異なる 2 つの正弦波の積の項（交差項）が出ます。交差項は積和の公式で周波数 $f_{1} + f_{2}$ と $∣ f_{1} - f_{2} ∣$ （ $\neq = 0$ ）の余弦の和になり、長い時間で平均するとどちらも 0 になります。したがって平均電力は各成分の電力の和です:
$P = \frac{A ^{2}}{2 R} + 2 \times \frac{( m A /2 ) ^{2}}{2 R} = \frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{m ^{2}}{2})$
側帯波の電力は合わせて搬送波の $\frac{m ^{2}}{2}$ 倍で、 $m = 1$ でも全体の $\frac{1}{3}$ にすぎません。

変調波が周波数の異なる複数の正弦波 $m_{1} cos (2 π f_{1} t) + m_{2} cos (2 π f_{2} t) + \dots$ の場合も、各成分ごとに上下 1 組ずつ側帯波（振幅 $\frac{m _{i} A}{2}$ ）ができるので、平均電力は $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{\sum m _{i}^{2}}{2})$ 、占有帯域幅は最も高い変調周波数の 2 倍 $2 f_{m, m a x}$ になります（側帯波どうしの周波数がすべて異なるとき）。

手順

AM 波の式から、搬送波の振幅 $A$ 、変調度 $m$ 、搬送波周波数 $f_{c}$ 、変調周波数 $f_{m}$ を読み取る
積和の公式で 3 つの成分に分ける: 搬送波（周波数 $f_{c}$ 、振幅 $A$ ）、上側波（ $f_{c} + f_{m}$ 、振幅 $\frac{m A}{2}$ ）、下側波（ $f_{c} - f_{m}$ 、振幅 $\frac{m A}{2}$ ）
占有帯域幅を求める: $(f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2 f_{m}$ （複数の変調波なら $2 f_{m, m a x}$ ）
各成分の平均電力 $\frac{a ^{2}}{2 R}$ を足して平均電力を求める: $P = \frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{m ^{2}}{2})$ （複数の変調波なら $m^{2}$ を $\sum m_{i}^{2}$ に）

例題

電圧 $v (t) = 100 [1 + 0.6 cos (2 π \cdot 5000 t)] cos (2 π \cdot 1 0^{6} t)$ [V] の AM 波を $R = 50 Ω$ の抵抗に加えた。抵抗で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし平均は十分長い時間についてとるものとする。

例題の解答

【手順 1】 $A = 100 V$ 、 $m = 0.6$ 、 $f_{c} = 1 0^{6} Hz$ 、 $f_{m} = 5000 Hz$ 。

【手順 2】積和の公式で
$v (t) = 100 cos (2 π \cdot 1 0^{6} t) + 30 cos {2 π (1 0^{6} + 5000) t} + 30 cos {2 π (1 0^{6} - 5000) t}$
搬送波の振幅は $100 V$ 、側帯波の振幅はそれぞれ $\frac{0.6 \times 100}{2} = 30 V$ 。

【手順 3】（参考）占有帯域幅は $2 f_{m} = 10 kHz$ 。

【手順 4】各成分の平均電力は、搬送波 $\frac{10 0 ^{2}}{2 \times 50} = 100 W$ 、側帯波それぞれ $\frac{3 0 ^{2}}{2 \times 50} = 9 W$ 。合計して
$P = 100 + 9 + 9 = 118 W$
公式でも $\frac{10 0 ^{2}}{2 \times 50} (1 + \frac{0. 6 ^{2}}{2}) = 100 \times 1.18 = 118 W$ 。

答え: $118$

よくある誤り

側帯波の振幅を $m A$ としてしまう誤り。積和の公式で $\frac{1}{2}$ が付くので、正しくは $\frac{m A}{2}$ 。例題で $60 V$ とすると側帯波の電力が 4 倍になり $P = 100 + 36 + 36 = 172 W$ となって誤り
平均電力を $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + m^{2})$ や $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + m)^{2}$ としてしまう誤り。前者は側帯波の振幅を $m A / 2$ と取り違えたもの、後者は最大振幅 $A (1 + m)$ の正弦波とみなしたもので、正しくは各成分の電力の和 $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{m ^{2}}{2})$
占有帯域幅を $f_{m}$ や $f_{c} + f_{m}$ としてしまう誤り。AM 波は $f_{c} - f_{m}$ から $f_{c} + f_{m}$ まで広がるので、正しくは $2 f_{m}$ （例題では $10 kHz$ ）
複数の変調波があるとき、変調度を足してから 2 乗して $(m_{1} + m_{2})^{2}$ を使ってしまう誤り。例えば $m_{1} = 0.3$ 、 $m_{2} = 0.4$ なら $(0.7)^{2} = 0.49$ ではなく、正しくは周波数の異なる側帯波の電力を足して $m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 0.09 + 0.16 = 0.25$ とし、 $P = \frac{A ^{2}}{2 R} (1 + \frac{0.25}{2})$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
AM 送信機の出力電圧が
$v (t) = A [1 + m cos (2 π f_{m} t)] cos (2 π f_{c} t)$
で表され、 $A = 100 V$ 、変調度 $m = 0.6$ 、信号周波数 $f_{m} = 5 kHz$ 、搬送波周波数 $f_{c} = 1 MHz$ である。この電圧を $R = 50 Ω$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

周波数変調の帯域幅と電力（大学物理信号処理・通信工学）