デシベルと信号対雑音比

電力比のデシベル値 $10 lo g_{10} (P_{1} / P_{2})$ と真数の相互換算を行い、利得・損失の足し引きと、雑音電力を加えたときの信号対雑音比（SNR）を dB で求められる

前提

対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

通信や音響、計測では、信号の電力が何桁にもわたって変わるので、電力の比を常用対数で表したデシベル（dB）がよく使われます。この技能では、電力比とデシベル値を行き来し、増幅器の利得やケーブルの損失をデシベルの足し引きでまとめて計算できるようになります。さらに、信号の電力と雑音の電力の比である信号対雑音比（SNR）を dB で求め、雑音が加わったときに SNR がどれだけ悪くなるかを評価できるようになります。

なぜそうしてよいのか

2 つの電力 $P_{1}, P_{2}$ の比をデシベルで表すと $10 lo g_{10} \frac{P _{1}}{P _{2}}$ [dB] です（ $lo g_{10}$ の値をそのまま使う単位が「ベル」で、その 10 倍がデシベル）。対数を使うので、比が 10 倍になるごとに $+ 10 dB$ 、100 倍で $+ 20 dB$ 、 $\frac{1}{10}$ 倍で $- 10 dB$ と、何桁もの違いを扱いやすい数で表せます。 $lo g_{10} 2 \approx 0.301$ なので 2 倍は約 $+ 3 dB$ 、半分は約 $- 3 dB$ です。逆に $x dB$ を電力比に戻すには、対数の定義から $\frac{P _{1}}{P _{2}} = 1 0^{x /10}$ とします。

対数には $lo g_{10} (ab) = lo g_{10} a + lo g_{10} b$ という性質があるので、電力が $G_{1}$ 倍の増幅器のあとに $G_{2}$ 倍の増幅器や $\frac{1}{L}$ 倍の損失（ケーブルなど）が続くとき、全体の倍率 $G_{1} G_{2} \cdot \frac{1}{L}$ は dB では $G_{1} [dB] + G_{2} [dB] - L [dB]$ と足し引きになります。電力そのものも基準の電力との比で dB にでき、基準を $1 mW$ にした値を dBm と書きます（ $P [dBm] = 10 lo g_{10} \frac{P}{1 mW}$ ）。このとき「電力 [dBm] $+$ 利得 [dB] $=$ 出力電力 [dBm]」と計算できます。

信号対雑音比は $SNR = \frac{S}{N}$ （ $S$ : 信号電力、 $N$ : 雑音電力）で、dB では $10 lo g_{10} \frac{S}{N} = S [dBm] - N [dBm]$ です。ここで大事なのは、互いに無関係な雑音どうしが重なると、足し合わさるのは電力だということです。dB の値は電力の対数なので、雑音を足すときは dB の値どうしを足してはいけません。いったん真数（電力）に戻して足し、その後で dB に直します。

手順

与えられた量を確認し、dB で与えられた比や電力は真数に、真数で与えられたものは dB に、必要に応じて換算する: $x [dB] = 10 lo g_{10} (P_{1} / P_{2})$ 、 $P_{1} / P_{2} = 1 0^{x /10}$
掛け算でつながる利得・損失は dB で足し引きする: 全体の利得 $[dB] = \sum (利得) - \sum (損失)$
雑音が複数あるときは、それぞれの電力を同じ場所（例えば出力側）で真数にそろえてから足す: $N = N_{1} + N_{2} + \dots$
信号電力と合計の雑音電力の比をとり、 $SNR [dB] = 10 lo g_{10} (S / N)$ で dB に直す

例題

電力 $1.0 mW$ の信号に、電力 $1.0 μ W$ の雑音がのって増幅器に入る。増幅器の電力利得は $20 dB$ で、入力された信号と雑音をどちらも同じ倍率で増幅するほか、増幅器自身が出力側で電力 $0.10 mW$ の雑音を加える。雑音どうしは無関係で、電力が足し合わさるものとする。増幅器の出力での信号対雑音比を dB で、正確な値（ $lo g_{10}$ を含む式）で求めよ。

例題の解答

【手順 1】利得 $20 dB$ を真数に直すと $1 0^{20/10} = 100$ 倍。

【手順 2】増幅器は 1 段なので、信号も入力雑音も 100 倍になる。出力の信号電力 $S = 1.0 mW \times 100 = 100 mW$ 、増幅された入力雑音 $1.0 μ W \times 100 = 0.10 mW$ 。

【手順 3】出力側で雑音を電力のまま足す:
$N = 0.10 mW + 0.10 mW = 0.20 mW$

【手順 4】
$SNR = \frac{S}{N} = \frac{100}{0.20} = 500, 10 lo g_{10} 500 = 10 (lo g_{10} 1000 - lo g_{10} 2) = 30 - 10 lo g_{10} 2 dB$
$lo g_{10} 2 \approx 0.301$ より約 $27.0 dB$ 。入力での SNR は $10 lo g_{10} \frac{1.0 mW}{1.0 μ W} = 30 dB$ だったので、増幅器の雑音で雑音電力が 2 倍になり、SNR が約 $3 dB$ 悪くなった。

答え: $30 - 10 lo g_{10} 2$

よくある誤り

雑音を dB の値どうしで足してしまう誤り。例えば $- 10 dBm$ （ $0.1 mW$ ）の雑音が 2 つ重なると $- 20 dBm$ とするのは誤りで、正しくは電力で $0.1 + 0.1 = 0.2 mW$ 、つまり $10 lo g_{10} 0.2 \approx - 7.0 dBm$ （約 $3 dB$ 増える）
利得の dB 値を掛け算してしまう誤り。 $20 dB$ と $10 dB$ の増幅器を続けたとき $20 \times 10 = 200 dB$ とするのは誤り。正しくは $20 + 10 = 30 dB$ （電力比で $100 \times 10 = 1000$ 倍）
dB から真数に戻すときに $1 0^{x}$ や $1 0^{x /20}$ としてしまう誤り。電力比なら正しくは $1 0^{x /10}$ で、 $20 dB$ は $1 0^{2} = 100$ 倍
損失を表す dB を利得と同じ符号で足してしまう誤り。利得 $20 dB$ の増幅器のあとに損失 $6 dB$ のケーブルがあるとき、全体は $20 + 6 = 26 dB$ ではなく、正しくは $20 - 6 = 14 dB$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電力 $0.10 mW$ の信号を、利得 $30 dB$ の増幅器に通したあと、損失 $10 dB$ のケーブルで受信機まで送る。受信機の入力端での雑音電力は $1.0 μ W$ である。受信機の入力端での信号対雑音比（SNR）[dB] を整数で求めよ。ただし、利得・損失は電力比のデシベル値 $10 lo g_{10} (P_{出力} / P_{入力})$ で表したものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

雑音指数と縦続接続（大学物理信号処理・通信工学）