信号処理・通信工学の問題

ある増幅器の入力での信号電力は $1.0\mu \text{W}$ で、この信号に雑音が加わっている。入力での信号対雑音比（SNR、信号電力と雑音電力の比）は $30\text{dB}$ である。この増幅器の電力利得は $20\text{dB}$ で、入力の信号と雑音を同じ割合で増幅する。さらに増幅器は、それ自身の内部で発生した電力 $9.0\times 10^{-7}\text{W}$ の雑音を出力に加える。入力側の雑音と増幅器内部の雑音は無相関で、出力での雑音電力はそれらの電力の和で表されるものとする。

増幅器の出力での SNR は何 dB か。整数で求めよ。ただし、電力比 $P_1/P_2$ のデシベル値を $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$ とする。

受信機の初段に低雑音増幅器（LNA）を置き、その後ろにミキサを縦続接続した。LNA の雑音指数は真数で $F_1=2.0$、電力利得は $20\text{dB}$ であり、ミキサの雑音指数は真数で $F_2=11$ である。各段の入出力は整合しており、雑音指数は標準雑音温度を基準とした値とする。この 2 段縦続接続の総合雑音指数 $F$ を真数（分数または小数）で求めよ。

AM 送信機の出力電圧が
$$v(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
で表され、$A=100\text{V}$、変調度 $m=0.6$、信号周波数 $f_m=5\text{kHz}$、搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ である。この電圧を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。

周波数 $7\text{kHz}$ の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi \times 7000t)$（$t$ は時刻 [s]）を、標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$ で標本化した。得られた標本値の列を、遮断周波数 $f_s/2=5\text{kHz}$ の理想低域通過フィルタに通して連続信号に再構成する。再構成された信号は 1 つの正弦波になる。その周波数 [kHz] を求めよ。

入力 $x[n]$、出力 $y[n]$ の因果的なディジタルフィルタが、差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{2}y[n-1]+x[n]$$
で表される。このフィルタの伝達関数は $H(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}$ である。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位は rad/サンプル）とする。

正規化角周波数 $\omega =\frac{\pi }{2}$ における振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を求めよ。根号を用いた正確な値で答えよ。