信号処理・通信工学の問題

電力 $0.10\text{mW}$ の信号を、利得 $30\text{dB}$ の増幅器に通したあと、損失 $10\text{dB}$ のケーブルで受信機まで送る。受信機の入力端での雑音電力は $1.0\mu \text{W}$ である。受信機の入力端での信号対雑音比（SNR）[dB] を整数で求めよ。ただし、利得・損失は電力比のデシベル値 $10{\log }_{10}(P_{\text{出力}}/P_{\text{入力}})$ で表したものとする。

アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。

• 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 $20\text{dB}$、雑音係数 $F_1=2$
• 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 $10\text{dB}$（利得 $-10\text{dB}$）、雑音係数 $F_2=10$
• 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数 $F_3=10$

第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。

受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ であり、入力端の雑音は標準温度 $T_0=290\text{K}$ の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。

受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある増幅器の入力での信号電力は $1.0\mu \text{W}$ で、この信号に雑音が加わっている。入力での信号対雑音比（SNR、信号電力と雑音電力の比）は $30\text{dB}$ である。この増幅器の電力利得は $20\text{dB}$ で、入力の信号と雑音を同じ割合で増幅する。さらに増幅器は、それ自身の内部で発生した電力 $9.0\times 10^{-7}\text{W}$ の雑音を出力に加える。入力側の雑音と増幅器内部の雑音は無相関で、出力での雑音電力はそれらの電力の和で表されるものとする。

増幅器の出力での SNR は何 dB か。整数で求めよ。ただし、電力比 $P_1/P_2$ のデシベル値を $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$ とする。

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$40\text{kHz}<|f|<50\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する。標本化した信号のスペクトルは $X(f)$ を $f_s$ の整数倍ずつずらした複製 $X(f-m{f}_s)$（$m$ は整数）の和になる。

$f_s$ を $30\text{kHz}\leqq f_s\leqq 45\text{kHz}$ の範囲で選ぶとき、複製どうしが重ならない（エイリアシングが起きない）ような $f_s$ は、ある閉区間をなす。その区間の最小値と最大値（単位 kHz）を、この順に組で答えよ。ただし、複製の端どうしが接する場合は重ならないとみなす。

AM 送信機の出力電圧が
$$v(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
で表され、$A=100\text{V}$、変調度 $m=0.6$、信号周波数 $f_m=5\text{kHz}$、搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ である。この電圧を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。