受信機の初段に低雑音増幅器（LNA）を置き、その後ろにミキサを縦続接続した。LNA の雑音指数は真数で 、電力利得は であり、ミキサの雑音指数は真数で である。各段の入出力は整合しており、雑音指数は標準雑音温度を基準とした値とする。この 2 段縦続接続の総合雑音指数 を真数（分数または小数）で求めよ。
雑音指数と縦続接続
雑音指数 と、受動損失回路の を使い、フリスの公式 で多段の受信機の総合雑音指数と出力 SNR を求められる
前提
- デシベルと信号対雑音比 （大学物理 信号処理・通信工学）
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- デシベルと信号対雑音比 （大学物理 信号処理・通信工学）
説明
受信機は、アンテナで受けた弱い信号を何段もの増幅器・フィルタ・ケーブルなどに通して大きくします。各段は信号と一緒に入ってきた雑音を増幅するだけでなく、自分自身の雑音も加えるので、通るたびに SNR は下がります。雑音指数 は「その段で SNR が何倍悪くなるか」を表す量で、フリスの公式を使うと、各段の と利得 から多段全体の雑音指数と出力 SNR を求められます。どの段に低雑音の増幅器を置くべきかを判断するときに使います。
なぜそうしてよいのか
雑音指数は、入力の雑音電力を基準温度 （ふつう ）の抵抗が出す熱雑音 にそろえたうえで と定義します。電力利得 の増幅器では信号は 倍になり、出力の雑音は「入ってきた雑音の 倍」に「増幅器が内部で加えた雑音 （出力側で測る）」を足したもの になります。したがって で、雑音を加えない理想的な増幅器なら （）、実際の回路は必ず です。逆に書くと、内部雑音は です。
2 段をつなぐと、1 段目の出力雑音 が 2 段目で 倍され、そこに 2 段目の内部雑音 が加わります。全体の利得は なので
となります。3 段目以降も同じ考えで、 段目の内部雑音はそれより前の段の利得の積で割って入力側に換算されるので、フリスの公式 が得られます。初段の利得が大きいと後段の寄与が小さくなるので、初段の雑音指数がほぼ全体を決めます。
ケーブルや減衰器のような受動回路（損失 、つまり利得 、温度 ）では、出力側から見ると温度 の抵抗が 1 つつながっているのと同じなので、出力の雑音電力は入力と同じ のままです。一方、信号は 倍になるので SNR はちょうど 倍悪くなり、 です。
手順
各段の雑音指数 と利得 を、dB で与えられていれば真数に直す（、）。受動損失回路は 、 とする
フリスの公式 に、入力側から順に真数のまま代入して総合雑音指数 を求める
必要なら を dB に直す：
出力 SNR を求めるときは、、dB では とする（入力の雑音は基準温度 の熱雑音とする）
例題
2 段の増幅器を縦続接続した受信機がある。1 段目は雑音指数 、電力利得 、2 段目は雑音指数 である（いずれも真数）。入力の雑音は基準温度の熱雑音とする。この受信機全体の雑音指数 を真数で求めよ。
例題の解答
手順 1：値はすでに真数なので、そのまま 、、 を使う。
手順 2：フリスの公式（2 段なので第 2 項まで）に代入する。
（参考：手順 3 で dB に直すと 。2 段目単独の雑音指数 （約 ）に比べ、初段の利得のおかげで全体の雑音指数が小さく抑えられている。）
よって 。
答え:
よくある誤り
dB のままフリスの公式に代入してしまう誤り。例えば 、、 で と計算するのは誤り。正しくは真数 、、 に直して とし、最後に dB に直す
後段の項で を落とし としてしまう誤り。正しくは 。 は、入力の雑音そのものはすでに の中で数えていることに対応する
後段の雑音指数を、直前の段の利得だけで割ってしまう誤り（例：3 段目を とする）。正しくは、それより前のすべての段の利得の積で割り とする
損失のある受動回路（ケーブルなど）の雑音指数を や としてしまう誤り。正しくは （例：損失 なら ）、利得は で、後段の寄与を 倍に大きくする
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。
- 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 、雑音係数
- 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 （利得 ）、雑音係数
- 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数
第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。
受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は であり、入力端の雑音は標準温度 の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。
受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。
受信機のフロントエンドが、次の 3 段をこの順に縦続接続して構成されている。
- 第 1 段: 低雑音増幅器。電力利得 、雑音指数（真数、雑音係数）
- 第 2 段: 受動素子だけでできたミキサ（周波数変換器）。変換損失（電力の損失）。この段は標準温度 にあり、整合のとれた受動の損失回路とみなせる
- 第 3 段: 中間周波増幅器。雑音指数（真数）
各段の入出力はすべて整合しており、雑音指数はすべて標準温度 を基準に定義されたものとする。受信機の入力には、信号とともに温度 の整合した信号源抵抗の熱雑音だけが加わっており、入力での信号対雑音比（SNR、電力比）は である。第 3 段の出力での SNR は何 dB か。正確な値で答えよ。ただし、各段は線形で、信号と雑音は同じ帯域幅で扱えるものとする。