信号処理・通信工学の問題

アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。

• 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 $20\text{dB}$、雑音係数 $F_1=2$
• 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 $10\text{dB}$（利得 $-10\text{dB}$）、雑音係数 $F_2=10$
• 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数 $F_3=10$

第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。

受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ であり、入力端の雑音は標準温度 $T_0=290\text{K}$ の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。

受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。

帯域 $0\sim 4\text{kHz}$ の音声信号を、オーバーサンプリングを用いた A/D 変換器でディジタル化する。条件は次のとおりである。

• A/D 変換器は $N$ ビット（$N$ は正の整数）の一様量子化器で、入力範囲は $-V\sim V$、量子化ステップは $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ である。量子化誤差は信号と無相関で $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、その電力 $\frac{{\Delta }^2}{12}$ は $0\sim \frac{f_s}{2}$ の周波数範囲に一様に（白色に）分布するとする。標本化周波数は $f_s=256\text{kHz}$ である。
• 入力信号は振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波（周波数は $4\text{kHz}$ 未満）で、過負荷は起こらない。
• A/D 変換器の入力には、信号と無相関なアナログの白色雑音も含まれている。この雑音の電力は $0\sim 128\text{kHz}$ に一様に分布しており、この全帯域で測った信号対雑音比（量子化雑音を含まない）は $70\text{dB}$ である。
• A/D 変換後、遮断周波数 $4\text{kHz}$ の理想ディジタル低域通過フィルタ（通過域の利得 $1$）で $4\text{kHz}$ を超える成分をすべて取り除く。アナログ雑音と量子化雑音は互いに無相関とする。

フィルタ出力での信号対雑音比（アナログ雑音と量子化雑音の両方を含む）を $80\text{dB}$ 以上にするために必要な最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いてよい。

ある増幅器の入力での信号電力は $1.0\mu \text{W}$ で、この信号に雑音が加わっている。入力での信号対雑音比（SNR、信号電力と雑音電力の比）は $30\text{dB}$ である。この増幅器の電力利得は $20\text{dB}$ で、入力の信号と雑音を同じ割合で増幅する。さらに増幅器は、それ自身の内部で発生した電力 $9.0\times 10^{-7}\text{W}$ の雑音を出力に加える。入力側の雑音と増幅器内部の雑音は無相関で、出力での雑音電力はそれらの電力の和で表されるものとする。

増幅器の出力での SNR は何 dB か。整数で求めよ。ただし、電力比 $P_1/P_2$ のデシベル値を $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$ とする。

周波数感度 $k_f$（単位は Hz/V）が未知の周波数変調（FM）器がある。この FM 器は、変調信号 $m(t)$（単位は V）に対して
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+2\pi k_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right)$$
を出力する。ここで $A=10\text{V}$、$f_c=10.7\text{MHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。

測定 変調信号を $m(t)=a\cos (2\pi \cdot 2000t)$ とし、振幅 $a$ を $0$ から少しずつ大きくしていったところ、$a=0.962\text{V}$ のときにはじめて $s(t)$ のスペクトルから周波数 $f_c$ の搬送波成分が消えた。

使用 次に、同じ FM 器に変調信号 $m(t)=0.6\cos (2\pi \cdot 1500t)$ を加え、出力 $s(t)$ を $1\Omega$ の抵抗に加える前に、通過域 $f_c-3.5\text{kHz}<f<f_c+3.5\text{kHz}$ で利得 $1$、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想帯域通過フィルタに通した。抵抗で消費される平均電力（単位は W）を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、変調指数 $\beta$ の正弦波 FM 波は $s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \{2\pi (f_c+n{f}_m)t\}$（$f_m$ は変調信号の周波数、$J_n$ は第 1 種ベッセル関数で $J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）と展開できることを用いてよい。$J_0(\beta )=0$ となる最小の正の $\beta$ は $2.405$ であり、$J_0(2)=0.2239$、$J_1(2)=0.5767$、$J_2(2)=0.3528$、$J_3(2)=0.1289$ とする。

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$21\text{kHz}<|f|<25\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
$$X_s(f)=f_s\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(f-m{f}_s)$$
となる。ここで、$X(f)$ が $0$ でない区間を $m{f}_s$ ずらした複製どうし（$m$ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $16$ 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない $f_s$ の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。