信号処理・通信工学の問題

電力 $0.10\text{mW}$ の信号を、利得 $30\text{dB}$ の増幅器に通したあと、損失 $10\text{dB}$ のケーブルで受信機まで送る。受信機の入力端での雑音電力は $1.0\mu \text{W}$ である。受信機の入力端での信号対雑音比（SNR）[dB] を整数で求めよ。ただし、利得・損失は電力比のデシベル値 $10{\log }_{10}(P_{\text{出力}}/P_{\text{入力}})$ で表したものとする。

アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。

• 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 $20\text{dB}$、雑音係数 $F_1=2$
• 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 $10\text{dB}$（利得 $-10\text{dB}$）、雑音係数 $F_2=10$
• 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数 $F_3=10$

第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。

受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ であり、入力端の雑音は標準温度 $T_0=290\text{K}$ の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。

受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

受信機のフロントエンドが、次の 3 段をこの順に縦続接続して構成されている。

• 第 1 段: 低雑音増幅器。電力利得 $20\text{dB}$、雑音指数（真数、雑音係数）$F_1=2$
• 第 2 段: 受動素子だけでできたミキサ（周波数変換器）。変換損失（電力の損失）$10\text{dB}$。この段は標準温度 $T_0=290\text{K}$ にあり、整合のとれた受動の損失回路とみなせる
• 第 3 段: 中間周波増幅器。雑音指数（真数）$F_3=5.1$

各段の入出力はすべて整合しており、雑音指数はすべて標準温度 $T_0$ を基準に定義されたものとする。受信機の入力には、信号とともに温度 $T_0$ の整合した信号源抵抗の熱雑音だけが加わっており、入力での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ である。第 3 段の出力での SNR は何 dB か。正確な値で答えよ。ただし、各段は線形で、信号と雑音は同じ帯域幅で扱えるものとする。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間の 1 次 IIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+(1-a)x[n]$$
で表される（$n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの直流（周波数 $0\text{Hz}$）での振幅特性は $1$ である。周波数 $2000\text{Hz}$ の正弦波入力に対する振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $\frac{1}{2}$ になるような $a$ の値を求めよ。ここで $\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数（単位は rad）、$H(z)$ はこのフィルタの伝達関数である。