信号処理・通信工学の問題

受信機のフロントエンドが、次の 3 段をこの順に縦続接続して構成されている。

• 第 1 段: 低雑音増幅器。電力利得 $20\text{dB}$、雑音指数（真数、雑音係数）$F_1=2$
• 第 2 段: 受動素子だけでできたミキサ（周波数変換器）。変換損失（電力の損失）$10\text{dB}$。この段は標準温度 $T_0=290\text{K}$ にあり、整合のとれた受動の損失回路とみなせる
• 第 3 段: 中間周波増幅器。雑音指数（真数）$F_3=5.1$

各段の入出力はすべて整合しており、雑音指数はすべて標準温度 $T_0$ を基準に定義されたものとする。受信機の入力には、信号とともに温度 $T_0$ の整合した信号源抵抗の熱雑音だけが加わっており、入力での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ である。第 3 段の出力での SNR は何 dB か。正確な値で答えよ。ただし、各段は線形で、信号と雑音は同じ帯域幅で扱えるものとする。

ある増幅器の入力での信号電力は $1.0\mu \text{W}$ で、この信号に雑音が加わっている。入力での信号対雑音比（SNR、信号電力と雑音電力の比）は $30\text{dB}$ である。この増幅器の電力利得は $20\text{dB}$ で、入力の信号と雑音を同じ割合で増幅する。さらに増幅器は、それ自身の内部で発生した電力 $9.0\times 10^{-7}\text{W}$ の雑音を出力に加える。入力側の雑音と増幅器内部の雑音は無相関で、出力での雑音電力はそれらの電力の和で表されるものとする。

増幅器の出力での SNR は何 dB か。整数で求めよ。ただし、電力比 $P_1/P_2$ のデシベル値を $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$ とする。

送信機が、振幅 $1\text{V}$ の正弦波電圧を $50\Omega$ の整合した伝送線路（同軸ケーブル）に送り出す。送信電力は、この正弦波電圧が $50\Omega$ の抵抗で消費する平均電力に等しいとする。ケーブルの減衰量は $0.5\text{dB/km}$ で、長さ $L$（単位は km）に比例し、ケーブル以外での損失はないものとする。

受信端では、受信信号に平均電力 $-90\text{dBm}$ の雑音が加わる（$0\text{dBm}$ は $1\text{mW}$ とする）。受信機は、同じ信号が繰り返し $M=1000$ 回送られてくるのを利用して、受信波形を時刻をそろえて $M$ 回分平均（同期加算平均）する。各回の雑音は平均 $0$ で互いに無相関であり、信号は各回でまったく同じであるとする。

平均したあとの信号対雑音電力比（SNR）が $40\text{dB}$ 以上となるようなケーブルの長さ $L$ の最大値を求めよ（単位は km）。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

受信機の初段に低雑音増幅器（LNA）を置き、その後ろにミキサを縦続接続した。LNA の雑音指数は真数で $F_1=2.0$、電力利得は $20\text{dB}$ であり、ミキサの雑音指数は真数で $F_2=11$ である。各段の入出力は整合しており、雑音指数は標準雑音温度を基準とした値とする。この 2 段縦続接続の総合雑音指数 $F$ を真数（分数または小数）で求めよ。