複素数平面の問題

複素数平面上で、2 点 $\mathrm{A}(\alpha )$, $\mathrm{B}(\beta )$ の間の距離は $\mathrm{AB}=|\beta -\alpha |$ で求められる。

手順 1：差 $\beta -\alpha$ を計算する

$\alpha =-1+3i$, $\beta =5-5i$ とおく。
$$\beta -\alpha =(5-5i)-(-1+3i)=6-8i$$

手順 2：絶対値を求める

複素数 $z=a+bi$（$a,b$ は実数）の絶対値は $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ である。これは $z\bar{z}=|z{|}^2$ からも確かめられる。

$z=6-8i$ のとき $\bar{z}=6+8i$ なので
$$|6-8i{|}^2=(6-8i)(6+8i)=36-64i^2=36+64=100$$

$|6-8i|\geqq 0$ であるから
$$\mathrm{AB}=|6-8i|=\sqrt{100}=10$$

（参考：点 $\mathrm{A}$ は座標 $(-1,3)$、点 $\mathrm{B}$ は座標 $(5,-5)$ に対応する。2 点間の距離の公式を使っても $\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=10$ となり、結果は一致する。）

よって、$\mathrm{AB}=10$ である。

$\mathrm{B}-\mathrm{A}=(5-(-1))+(-5-3)i=6-8i$ なので、$\mathrm{AB}=|6-8i|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。検算として、座標 $(-1,3)$ と $(5,-5)$ の距離は $\sqrt{6^2+8^2}=10$ で一致する。