複素数平面の問題

複素数平面上の 2 点 $\mathrm{A}(\alpha )$, $\mathrm{B}(\beta )$ 間の距離は $\mathrm{AB}=|\beta -\alpha |$ で求められる。

手順 1：差 $\beta -\alpha$ を計算する。
$\alpha =2+5i$, $\beta =-3-7i$ だから
$$\beta -\alpha =(-3-7i)-(2+5i)=(-3-2)+(-7-5)i=-5-12i$$

手順 2：絶対値を求める。
$w=-5-12i$ とおく。共役複素数は $\bar{w}=-5+12i$ であり、$|w{|}^2=w\bar{w}$ を使うと
$$|w{|}^2=(-5-12i)(-5+12i)=(-5{)}^2-(12i{)}^2=25+144=169$$
となる。$|w|\geqq 0$ だから
$$|w|=\sqrt{169}=13$$
（$a+bi$ の絶対値が $\sqrt{a^2+b^2}$ であることを使って $\sqrt{(-5{)}^2+(-12{)}^2}=13$ と計算してもよい。）

確認： 点 $\mathrm{A}$ は座標平面の点 $(2,5)$、点 $\mathrm{B}$ は点 $(-3,-7)$ に対応するので、2 点間の距離の公式からも $\sqrt{(-3-2{)}^2+(-7-5{)}^2}=\sqrt{25+144}=13$ となり一致する。

よって $\mathrm{AB}=13$ である。

$\mathrm{AB}=|(2+5i)-(-3-7i)|=|5+12i|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。検算：$A(2,5)$, $B(-3,-7)$ より $\Delta x=5$, $\Delta y=12$ で、$25+144=169=13^2$ となり一致する。