複素数平面の問題

考え方

原点を中心とする回転なら、$\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ を掛ければよい。中心が $\mathrm{A}$ のときは、次の $3$ 段階で考える。

1. $\mathrm{A}$ が原点に重なるように全体を平行移動する（$-\alpha$ を加える）。
2. 原点を中心に回転する（$\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ を掛ける）。
3. 元の位置に平行移動して戻す（$+\alpha$ を加える）。

$\alpha =1+i$, $\beta =3+3i$ とおくと、
$$w-\alpha =\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)(\beta -\alpha )$$
が成り立つ。

ステップ 1：$\mathrm{A}$ を原点に移す
$$\beta -\alpha =(3+3i)-(1+i)=2+2i$$

ステップ 2：原点を中心に $\frac{\pi }{4}$ 回転する
$$\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$$
であるから、
$$\frac{1+i}{\sqrt{2}}(2+2i)=\frac{2(1+i{)}^2}{\sqrt{2}}=\frac{2(1+2i+i^2)}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot 2i}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}i$$

（確認：$2+2i$ は絶対値が $2\sqrt{2}$、偏角が $\frac{\pi }{4}$ である。これを $\frac{\pi }{4}$ 回転すると、偏角は $\frac{\pi }{2}$ になる。絶対値は変わらないので $2\sqrt{2}i$ となり、結果と一致する。）

ステップ 3：元の位置に戻す
$$w=\alpha +2\sqrt{2}i=1+i+2\sqrt{2}i=1+(1+2\sqrt{2})i$$

よって $w=1+(1+2\sqrt{2})i$ である。

点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として反時計回りに $\frac{\pi }{4}$ 回転するので、
$w-(1+i)=\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\{(3+3i)-(1+i)\}$
$=\frac{1+i}{\sqrt{2}}(2+2i)=\frac{2(1+i{)}^2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot 2i}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}i$
よって $w=1+i+2\sqrt{2}i=1+(1+2\sqrt{2})i$。
検算：$\mathrm{AB}=|2+2i|=2\sqrt{2}$。$\mathrm{AB}$ の偏角は $\frac{\pi }{4}$ で、$\frac{\pi }{4}$ 回転すると偏角 $\frac{\pi }{2}$ となり、$\mathrm{AC}=2\sqrt{2}$ で真上の向きなので $w-(1+i)=2\sqrt{2}i$ となり一致する。