複素数平面の問題

$\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおくと、$\overline{\omega }=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。

$\mathrm{Q},\mathrm{R}$ を表す複素数
点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}(z)$ を原点を中心に $\frac{\pi }{3}$ 回転した点なので、$\mathrm{Q}$ を表す複素数は $\omega z$。
点 $\mathrm{R}(r)$ は $\mathrm{P}$ を $\mathrm{A}(2)$ を中心に $-\frac{\pi }{3}$ 回転した点なので
$$r-2=\overline{\omega }(z-2)\text{より}r=\overline{\omega }z+2(1-\overline{\omega })$$
ここで $1-\overline{\omega }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\omega$ であるから $r=\overline{\omega }z+2\omega$。

$\mathrm{QR}$ の長さ
$$\omega z-r=(\omega -\overline{\omega })z-2\omega =\sqrt{3}iz-2\omega$$
（$\omega -\overline{\omega }=\sqrt{3}i$ を用いた。）よって
$$\mathrm{QR}=\left|\sqrt{3}iz-2\omega \right|=\left|\sqrt{3}i\right|\left|z-\frac{2\omega }{\sqrt{3}i}\right|=\sqrt{3}|z-c|$$
ただし
$$c=\frac{2\omega }{\sqrt{3}i}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\cdot (-i)=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=1-\frac{1}{\sqrt{3}}i$$
すなわち、$\mathrm{QR}$ は点 $\mathrm{P}(z)$ と定点 $\mathrm{C}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}i\right)$ との距離の $\sqrt{3}$ 倍である。

最小値
$z=x+i$（$x$ は実数）とおくと
$$|z-c|=\left|(x-1)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)i\right|=\sqrt{(x-1{)}^2+{\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}\geqq 1+\frac{1}{\sqrt{3}}$$
等号は $x=1$ のとき成り立つ。（これは点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{Im}z=1$ に下ろした垂線の長さである。）
よって $\mathrm{QR}$ の最小値は
$$\sqrt{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}+1$$

（確認）$z=1+i$ のとき、$\omega z=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}i$、$r=2+\overline{\omega }(-1+i)=\frac{3+\sqrt{3}}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}i$ であり、$\omega z-r=-1-\sqrt{3}$ となるので $\mathrm{QR}=1+\sqrt{3}$ である。

$\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおく。$\bar{\omega }={\omega }^{-1}$ は $-\frac{\pi }{3}$ の回転を表す。

点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ を原点中心に $+\frac{\pi }{3}$ 回転した点なので、$q=\omega z$。
点 $\mathrm{R}$ は $\mathrm{P}$ を $\mathrm{A}(2)$ 中心に $-\frac{\pi }{3}$ 回転した点なので、$r-2=\bar{\omega }(z-2)$、すなわち $r=\bar{\omega }z+2(1-\bar{\omega })$。ここで $1-\bar{\omega }=1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\omega$ なので $r=\bar{\omega }z+2\omega$。

$q-r=(\omega -\bar{\omega })z-2\omega =\sqrt{3}iz-2\omega$。

$\mathrm{QR}=|q-r|=\sqrt{3}\left|z-\frac{2\omega }{\sqrt{3}i}\right|$。$\frac{2\omega }{\sqrt{3}i}=\frac{-2i\omega }{\sqrt{3}}=\frac{-2i\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}{\sqrt{3}}=\frac{-i+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1-\frac{1}{\sqrt{3}}i$。

よって $\mathrm{QR}=\sqrt{3}\mathrm{PC}$、ただし $\mathrm{C}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}i\right)$、すなわち座標 $\left(1,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ の点。$\mathrm{P}$ は直線 $y=1$ 上を動くので、$\mathrm{PC}$ の最小値は $\mathrm{C}$ から直線 $y=1$ までの距離 $1+\frac{1}{\sqrt{3}}$（$z=1+i$ のとき）。

最小値 $=\sqrt{3}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}+1$。

検算: $z=1+i$ のとき $\sqrt{3}iz-2\omega =\sqrt{3}i-\sqrt{3}-(1+\sqrt{3}i)=-\sqrt{3}-1$ で、絶対値は $\sqrt{3}+1$。また $z=1+i+t$（$t$ は実数）では $\sqrt{3}it$ が虚部に加わるだけなので絶対値は $\sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2+3t^2}\ge \sqrt{3}+1$ となり、$t=0$ で最小。