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複素数平面の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 複素数平面

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (2 + i)$ , $B (5 + 3 i)$ がある。点 $B$ を、点 $A$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{4}$ だけ回転し、さらに点 $A$ からの距離を $2$ 倍した点を $C (γ)$ とする。複素数 $γ$ を求めよ。

この問題で使うもの

複素数と図形（回転・相似）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「複素数と図形（回転・相似）」の技能を使う。点 A を中心とする回転・拡大は、A を原点に移してから複素数を掛けて考える。

ヒント 2

$γ - α = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) (β - α)$ を使う。 $2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ を $a + bi$ の形にしてみよう。

ヒント 3

$β - α = 3 + 2 i$ 、回転・拡大を表す複素数は $1 + i$ である。あとは $(1 + i) (3 + 2 i)$ を計算し、 $2 + i$ を加えればよい。

答えと解説

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3 + 6 i

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解説を読む

点 $A (α)$ を中心として点 $B (β)$ を角 $θ$ だけ回転し、 $A$ からの距離を $r$ 倍した点を $C (γ)$ とすると、
$γ - α = r (cos θ + i sin θ) (β - α)$
が成り立つ。これは、 $A$ を原点に移すように平行移動してから、原点のまわりの回転と拡大（複素数の積）を行い、もとの位置へ戻す、という考え方である。

手順1：A を原点に移す。
$β - α = (5 + 3 i) - (2 + i) = 3 + 2 i$

手順2：回転と拡大を表す複素数を求める。
$r = 2$ , $θ = \frac{π}{4}$ であるから
$2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 (\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i) = 1 + i$

手順3：掛け算をする。
$(1 + i) (3 + 2 i) = 3 + 2 i + 3 i + 2 i^{2} = 3 + 5 i - 2 = 1 + 5 i$

手順4：A の分だけ戻す。
$γ = (1 + 5 i) + (2 + i) = 3 + 6 i$

（確認： $AC = ∣1 + 5 i ∣ = 26$ 、 $AB = ∣3 + 2 i ∣ = 13$ で、 $AC = 2 AB$ となっている。）

よって $γ = 3 + 6 i$ である。

別解

B−A = (5+3i)−(2+i) = 3+2i。回転と拡大は、複素数 $2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 \cdot \frac{1 + i}{2} = 1 + i$ をかけることに対応する。
(γ−α)=(1+i)(3+2i)=3+2i+3i+2i^2=1+5i。
よって γ = (2+i)+(1+5i) = 3+6i。
検算：|γ−α|=√26、|β−α|=√13 なので比は √2。偏角は (3+2i) の偏角に π/4 を加えたものであり、(1+5i)/(3+2i) = (1+5i)(3−2i)/13 = (3−2i+15i+10)/13 = 1+i となって一致する。

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