複素数平面の問題

複素数平面上の $2$ 点 $\mathrm{A}(\alpha )$, $\mathrm{B}(\beta )$ 間の距離は、絶対値を使って $\mathrm{AB}=|\beta -\alpha |$ と表されます。

手順1：差 $\beta -\alpha$ を計算する。
$\alpha =-1+3i$, $\beta =2-i$ とすると
$$\beta -\alpha =(2-i)-(-1+3i)=3-4i$$

手順2：絶対値を求める。
複素数 $z=a+bi$（$a,b$ は実数）の絶対値は $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ です。これは $z\bar{z}=|z{|}^2$ からも確かめられます。$z=3-4i$ のとき $\bar{z}=3+4i$ なので
$$|z{|}^2=z\bar{z}=(3-4i)(3+4i)=9-16i^2=9+16=25$$
よって $|3-4i|=\sqrt{25}=5$ です。

手順3：結論。
$$\mathrm{AB}=|\beta -\alpha |=|3-4i|=5$$

（参考）点 $\mathrm{A}$ は座標平面の点 $(-1,3)$、点 $\mathrm{B}$ は点 $(2,-1)$ に対応するので、$\sqrt{(2-(-1){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ と求めても同じ結果になります。

$\mathrm{AB}=|(2-i)-(-1+3i)|=|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$。検算：座標で表すと $\mathrm{A}(-1,3)$, $\mathrm{B}(2,-1)$ なので、$\sqrt{(2+1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ となり一致する。