複素数平面の問題

$\alpha =1$, $\beta =3+i$, $\gamma =2+3i$ とおく。

考え方：点 $\mathrm{A}$ を中心に点 $\mathrm{B}$ を回転・拡大すると点 $\mathrm{C}$ に重なるとき、その回転の角が $\angle \mathrm{BAC}$ である。$\mathrm{A}$ から見た $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の位置は $\beta -\alpha$, $\gamma -\alpha$ で表されるので、
$$\gamma -\alpha =w(\beta -\alpha )$$
となる複素数 $w=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ を求め、その偏角を調べればよい。

手順1：差を計算する。
$$\beta -\alpha =(3+i)-1=2+i,\gamma -\alpha =(2+3i)-1=1+3i$$

手順2：商を計算する。分母と分子に $2-i$ を掛けて
$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{1+3i}{2+i}=\frac{(1+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i+6i-3i^2}{4+1}=\frac{5+5i}{5}=1+i$$

手順3：極形式で表す。$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ より
$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$

手順4：図形的に読み取る。
$$\gamma -\alpha =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)(\beta -\alpha )$$
であるから、点 $\mathrm{C}$ は、点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として反時計回りに $\frac{\pi }{4}$ 回転し、$\mathrm{A}$ からの距離を $\sqrt{2}$ 倍した点である。（確かめ：$\mathrm{AB}=|2+i|=\sqrt{5}$, $\mathrm{AC}=|1+3i|=\sqrt{10}=\sqrt{2}\mathrm{AB}$ となり合っている。）

したがって、半直線 $\mathrm{AB}$ と半直線 $\mathrm{AC}$ のなす角は $\frac{\pi }{4}$ であり、
$$\angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi }{4}$$

A(1), B(3+i), C(2+3i) より、$\overrightarrow{AB}=2+i$, $\overrightarrow{AC}=1+3i$ である。
$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{1+3i}{2+i}=\frac{(1+3i)(2-i)}{5}=\frac{2-i+6i+3}{5}=\frac{5+5i}{5}=1+i$。
$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ なので、偏角は $\frac{\pi }{4}$ である。
検算：内積 $=2\cdot 1+1\cdot 3=5$、$|AB|=\sqrt{5}$、$|AC|=\sqrt{10}$ より $\cos \angle BAC=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。よって $\angle BAC=\frac{\pi }{4}$。