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複素数平面の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 複素数平面

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $3$ 点 $A (1 + i)$ , $B (4 + 2 i)$ , $C (3 + 5 i)$ がある。 $∠ BAC$ の大きさ $θ$ を求めよ。ただし $0 ≦ θ ≦ π$ とし、弧度法で答えよ。

この問題で使うもの

複素数と図形（回転・相似）（説明と入口の問題）
極形式と積・商（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

使う技能は「複素数と図形（回転・相似）」です。点 $A$ を中心に点 $B$ を回転・拡大して点 $C$ に重ねるとき、掛ける複素数を考えます。

ヒント 2

$α = 1 + i$ , $β = 4 + 2 i$ , $γ = 3 + 5 i$ とすると、 $\frac{γ - α}{β - α}$ の偏角が $∠ BAC$ を表します。

ヒント 3

$β - α = 3 + i$ , $γ - α = 2 + 4 i$ です。 $\frac{2 + 4 i}{3 + i}$ を計算して極形式にし、偏角を読み取りましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{π}{4}

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解説を読む

$α = 1 + i$ , $β = 4 + 2 i$ , $γ = 3 + 5 i$ とおく。

点 $A$ を中心として、点 $B$ を点 $C$ に重ねる回転と拡大を考える。これは複素数
$\frac{γ - α}{β - α}$
を掛けることにあたる。この複素数の偏角が $AB$ から $AC$ までの回転角になる。

まず差を計算する。
$β - α = (4 + 2 i) - (1 + i) = 3 + i, γ - α = (3 + 5 i) - (1 + i) = 2 + 4 i$

次に商を計算する。分母と分子に $3 - i$ を掛けると
$\frac{2 + 4 i}{3 + i} = \frac{( 2 + 4 i ) ( 3 - i )}{( 3 + i ) ( 3 - i )} = \frac{6 - 2 i + 12 i - 4 i ^{2}}{9 - i ^{2}} = \frac{10 + 10 i}{10} = 1 + i$

これを極形式で表すと
$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$
となる。

よって、点 $C$ は、点 $B$ を点 $A$ を中心として $\frac{π}{4}$ だけ回転し、 $A$ からの距離を $2$ 倍した点である。偏角 $\frac{π}{4}$ は $0$ 以上 $π$ 以下なので、そのまま角の大きさになる。

したがって
$θ = ∠ BAC = \frac{π}{4}$

別解

$A B = B - A = 3 + i$ 、 $A C = C - A = 2 + 4 i$ 。
$\frac{C - A}{B - A} = \frac{2 + 4 i}{3 + i} = \frac{( 2 + 4 i ) ( 3 - i )}{10} = \frac{6 - 2 i + 12 i + 4}{10} = \frac{10 + 10 i}{10} = 1 + i$ 。
よって $1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ なので、偏角は $\frac{π}{4}$ 。
$θ = \frac{π}{4}$ 。
検算：内積 $= 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$ 、 $∣ A B ∣ = 10$ 、 $∣ A C ∣ = 20$ 、 $cos θ = \frac{10}{200} = \frac{1}{2}$ より $θ = \frac{π}{4}$ 。

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