複素数平面の問題

$△\mathrm{ABC}$ は正三角形なので $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$、$\angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi }{3}$ である。頂点が $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の順に反時計回りに並ぶから、点 $\mathrm{C}$ は点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点である。よって
$$z-(2+i)=\{(4+3i)-(2+i)\}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$
が成り立つ。

右辺を計算すると
$$(2+2i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}{i}^2=(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i$$
となる。したがって
$$z=(2+i)+(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i=(3-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i$$
である。

(確認)$|\mathrm{B}-\mathrm{A}|=|2+2i|=2\sqrt{2}$ である。$z-(4+3i)=(-1-\sqrt{3})+(-1+\sqrt{3})i$ より
$$|z-(4+3i){|}^2=(1+\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2=8$$
なので $\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$ となり、3 辺の長さはすべて等しい。

答え: $z=(3-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i$

点 C は A を中心に B を反時計回りに $\frac{\pi }{3}$ 回転した点である。
$B-A=2+2i$。回転を表す数は $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
$(2+2i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}{i}^2=(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i$。
よって $z=(2+i)+(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i=(3-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i$。

検算: $|z-A{|}^2=(1-\sqrt{3}{)}^2+(1+\sqrt{3}{)}^2=(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})=8=|B-A{|}^2$。$|z-B|$: $z-B=(-1-\sqrt{3})+(-1+\sqrt{3})i$ で、$|z-B{|}^2=(4+2\sqrt{3})+(4-2\sqrt{3})=8$。よって正三角形である。向きは $(C-A)/(B-A)$ の偏角が $+\pi /3$ なので、A, B, C が反時計回りとなる。