複素数平面の問題

正方形の対角線は互いの中点で交わり、長さが等しく、垂直である。対角線の交点を $\mathrm{M}(m)$ とすると、$\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{AC}$ の中点だから
$$m=\frac{(1+2i)+(5+4i)}{2}=3+3i$$
である。

頂点が $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ の順に反時計回りに並ぶので、点 $\mathrm{M}$ を中心として点 $\mathrm{C}$ を反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ だけ回転すると点 $\mathrm{D}$ に移る。$\frac{\pi }{2}$ の回転は $\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$ を掛けることで表されるから、$\mathrm{D}$ を表す複素数を $d$ とすると
$$d-m=i\{(5+4i)-m\}$$
である。$(5+4i)-(3+3i)=2+i$ より
$$d-(3+3i)=i(2+i)=2i+i^2=-1+2i$$
$$d=(3+3i)+(-1+2i)=2+5i$$

（確認）同様に $\mathrm{B}$ を表す複素数 $b$ は $b-m=i\{(1+2i)-m\}=i(-2-i)=1-2i$ より $b=4+i$ である。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は $3-i$、$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ は $(5+4i)-(2+5i)=3-i$ で一致し、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ は $1+3i=i(3-i)$ なので、$\mathrm{AB}$ を反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ 回転した向きに $\mathrm{BC}$ がある。よって $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ は反時計回りに並ぶ正方形をなす。

したがって、頂点 $\mathrm{D}$ を表す複素数は $2+5i$ である。

対角線 AC の中点を M とすると $M=\frac{(1+2i)+(5+4i)}{2}=3+3i$。$A-M=-2-i$。正方形では $B-M=i(A-M)$（反時計回りに $90^{\circ }$ 回転）、$D-M=-i(A-M)$。$-i(-2-i)=2i+i^2=-1+2i$ より $D=3+3i+(-1+2i)=2+5i$。確認: B$=3+3i+i(-2-i)=3+3i+(1-2i)=4+i$。A(1,2), B(4,1), C(5,4), D(2,5) で、$\overrightarrow{AB}=(3,-1)$, $\overrightarrow{BC}=(1,3)$ の外積は $9+1=10>0$ で反時計回り、辺の長さはいずれも $\sqrt{10}$ で直角。