複素数平面の問題

$△\mathrm{ABC}$ は正三角形なので $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$, $\angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi }{3}$ である。また、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ が反時計回りに並ぶから、点 $\mathrm{C}$ は点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心に $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点である。したがって
$$\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$
が成り立つ。

$\beta -\alpha =(3+2i)-(1+i)=2+i$ であり、$\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ だから
$$\gamma -\alpha =\frac{(2+i)(1+\sqrt{3}i)}{2}=\frac{2+2\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}{i}^2}{2}=\frac{(2-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+1)i}{2}.$$
よって
$$\gamma =1+i+\frac{(2-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+1)i}{2}=\frac{4-\sqrt{3}}{2}+\frac{3+2\sqrt{3}}{2}i.$$

（確認）$|\gamma -\alpha {|}^2=\frac{(2-\sqrt{3}{)}^2+(2\sqrt{3}+1{)}^2}{4}=\frac{(7-4\sqrt{3})+(13+4\sqrt{3})}{4}=5$ であり、$|\beta -\alpha {|}^2=2^2+1^2=5$ と一致する。

答え: $\gamma =\frac{4-\sqrt{3}}{2}+\frac{3+2\sqrt{3}}{2}i$

A, B, C が反時計回りの正三角形なので、C は A を中心に B を $+\frac{\pi }{3}$ 回転した点である。
$\beta -\alpha =2+i$。
$\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=(2+i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$。
展開すると $1+\sqrt{3}i+\frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}{i}^2=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)i$。
よって $\gamma =1+i+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)i=\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)i$。
検算: $|\gamma -\alpha {|}^2={\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)}^2=1-\sqrt{3}+\frac{3}{4}+3+\sqrt{3}+\frac{1}{4}=5=|\beta -\alpha {|}^2$。
$\gamma -\beta =\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\right)i$ で、$|\gamma -\beta {|}^2=1+\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\sqrt{3}+3=5$。よって正三角形で、向きも反時計回りで合っている。