複素数平面の問題

頂点が反時計回りに並ぶので、点 $\mathrm{C}$ は、点 $\mathrm{B}$ を中心として点 $\mathrm{A}$ を $-\frac{\pi }{2}$ 回転した点である。言いかえると、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を $\frac{\pi }{2}$ 回転したものである。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ に対応する複素数は
$$(4+3i)-(1+2i)=3+i$$
$\frac{\pi }{2}$ 回転は $i$ を掛けることなので、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ に対応する複素数は
$$i(3+i)=3i+i^2=-1+3i$$
よって点 $\mathrm{C}$ を表す複素数は
$$(4+3i)+(-1+3i)=3+6i$$
（確認: $\mathrm{D}$ は $(1+2i)+(-1+3i)=5i$ で、$\mathrm{A}(1,2)$, $\mathrm{B}(4,3)$, $\mathrm{C}(3,6)$, $\mathrm{D}(0,5)$ は反時計回りの正方形になる。）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4+3i)-(1+2i)=3+i$。正方形 ABCD が反時計回りなので、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を点 B のまわりに $+90^{\circ }$ 回転したもの、すなわち $i$ 倍である。よって $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=i(3+i)=3i-1=-1+3i$。したがって $C=B+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(4+3i)+(-1+3i)=3+6i$。

検算: $D=A+i(3+i)=(1+2i)+(-1+3i)=5i$。座標は A(1,2), B(4,3), C(3,6), D(0,5)。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$, $\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(3,1)$ で平行四辺形、$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{10}$、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=3\cdot (-1)+1\cdot 3=0$ で正方形。A→B→C→D の順で外積 $3\cdot 3-1\cdot (-1)=10>0$ なので反時計回りである。