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複素解析・リーマン面の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学複素解析・リーマン面

$C^= C \cup {\infty}$ をリーマン球面、 $R^= R \cup {\infty}$ とする。複素数 $a, b, c, d$ （ $a d - b c \neq = 0$ ）に対し、一次分数変換 $T (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ を通常の約束（ $T (- d / c) = \infty$ , $T (\infty) = a / c$ 、 $c = 0$ のときは $T (\infty) = \infty$ ）で $C^$ から $C^$ への写像とみなす。

$T (R^) \subset R^$ が成り立つならば、ある実数 $α, β, γ, δ$ （ $α δ - β γ \neq = 0$ ）が存在して、すべての $z \in C^$ で $T (z) = \frac{α z + β}{γ z + δ}$ となることを証明せよ。

ただし、一次分数変換は $C^$ の全単射であること、2 つの一次分数変換の合成は係数行列の積に対応する一次分数変換であること、 $(p r q s)$ に対応する変換の逆変換は $(s - r - q p)$ に対応する変換であることは用いてよい。

この問題で使うもの

複比と標準領域の間の一次分数変換（説明と入口の問題）
一次分数変換による円・直線の像（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（41 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

一次分数変換は相異なる 3 点の像で決まることを使う。 $T (0), T (1), T (\infty)$ を見る。

ヒント 2

$T (0), T (1), T (\infty)$ を $0, 1, \infty$ に戻す変換を、実係数で（複比の形で）作る。 $\infty$ が混じる場合は分けて書く。

ヒント 3

その実係数の変換 $M$ について $M \circ T$ は $0, 1, \infty$ を固定する。3 点を固定する一次分数変換が恒等写像であることを、固定点の方程式 $r z^{2} + (s - p) z - q = 0$ から示す。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$T (0), T (1), T (\infty)$ が $R^$ の相異なる 3 点であることを、仮定と $T$ の単射性から確認している（2 点）
これら 3 点を $0, 1, \infty$ に写す実係数の一次分数変換 $M$ を、 $\infty$ を含む場合も含めて構成し、行列式が $0$ でないことを確かめている（3 点）
相異なる 3 点を固定する一次分数変換が恒等写像であることを、固定点の方程式の次数と $\infty$ の扱いで場合分けして示している（3 点）
$M \circ T = id$ から $T = M^{- 1}$ を導き、 $M^{- 1}$ も実係数で行列式が $0$ でないことを述べて結論している（2 点）

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模範解答を読む

Step 1（補題: 異なる 3 点を固定する一次分数変換は恒等写像）. $U (z) = \frac{p z + q}{r z + s}$ （ $p s - q r \neq = 0$ ）が $C^$ の相異なる 3 点を固定するとして、 $U = id$ を示す。
- $r \neq = 0$ のとき: $U (\infty) = p / r \neq = \infty$ なので $\infty$ は固定点でない。 $z \in C$ , $z \neq = - s / r$ が固定点であることは $p z + q = z (r z + s)$ 、すなわち $r z^{2} + (s - p) z - q = 0$ と同値で、これは 2 次方程式なので解は高々 2 個。また $z = - s / r$ は $U (z) = \infty \neq = z$ なので固定点でない。よって固定点は高々 2 個で、仮定に反する。
- $r = 0$ のとき: $s \neq = 0$ で $U (z) = \frac{p}{s} z + \frac{q}{s}$ 、 $U (\infty) = \infty$ 。有限の固定点は $(p - s) z + q = 0$ の解である。 $p \neq = s$ なら解は 1 個で、 $\infty$ と合わせても固定点は 2 個しかなく仮定に反する。 $p = s$ かつ $q \neq = 0$ なら有限の固定点はなく、やはり仮定に反する。したがって $p = s$ , $q = 0$ で、 $U (z) = z$ 。

以上より $U = id$ 。

Step 2（3 点の像）. $y_{1} = T (0)$ , $y_{2} = T (1)$ , $y_{3} = T (\infty)$ とおく。仮定 $T (R^) \subset R^$ と $0, 1, \infty \in R^$ より $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^$ 。 $T$ は単射なので $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ は相異なる。相異なるので $\infty$ になるのは高々 1 つである。

Step 3（実係数の変換 $M$ の構成）. $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ を順に $0, 1, \infty$ に写す実係数の一次分数変換 $M$ を、次のように場合分けして定める。
- すべて有限のとき: $M (z) = \frac{( y _{2} - y _{3} ) z - y _{1} ( y _{2} - y _{3} )}{( y _{2} - y _{1} ) z - y _{3} ( y _{2} - y _{1} )} = \frac{( z - y _{1} ) ( y _{2} - y _{3} )}{( z - y _{3} ) ( y _{2} - y _{1} )}$ 。係数は実数で、行列式は $(y_{2} - y_{3}) \cdot (- y_{3} (y_{2} - y_{1})) - (- y_{1} (y_{2} - y_{3})) (y_{2} - y_{1}) = (y_{2} - y_{3}) (y_{2} - y_{1}) (y_{1} - y_{3}) \neq = 0$ 。 $M (y_{1}) = 0$ , $M (y_{2}) = 1$ , $M (y_{3}) = \infty$ は代入で確かめられる。
- $y_{1} = \infty$ のとき: $M (z) = \frac{y _{2} - y _{3}}{z - y _{3}}$ 。行列 $(01 y_{2} - y_{3} - y_{3})$ の行列式は $- (y_{2} - y_{3}) \neq = 0$ 。 $M (\infty) = 0$ , $M (y_{2}) = 1$ , $M (y_{3}) = \infty$ 。
- $y_{2} = \infty$ のとき: $M (z) = \frac{z - y _{1}}{z - y _{3}}$ 。行列式は $- y_{3} + y_{1} \neq = 0$ 。 $M (y_{1}) = 0$ , $M (\infty) = 1$ , $M (y_{3}) = \infty$ 。
- $y_{3} = \infty$ のとき: $M (z) = \frac{z - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ 。行列式は $y_{2} - y_{1} \neq = 0$ 。 $M (y_{1}) = 0$ , $M (y_{2}) = 1$ , $M (\infty) = \infty$ 。

いずれの場合も $M$ は実数を成分とする正則行列に対応する。

Step 4（結論）. $U = M \circ T$ は一次分数変換で、 $U (0) = M (y_{1}) = 0$ , $U (1) = M (y_{2}) = 1$ , $U (\infty) = M (y_{3}) = \infty$ をみたす。Step 1 より $U = id$ 、すなわち $M \circ T = id$ 。 $M$ は全単射なので $T = M^{- 1}$ 。 $M$ が実行列 $(p r q s)$ （ $p s - q r \neq = 0$ ）に対応するとき、 $M^{- 1}$ は $(s - r - q p)$ に対応し、その成分は実数で行列式は $p s - q r \neq = 0$ 。 $α = s$ , $β = - q$ , $γ = - r$ , $δ = p$ とおけば、すべての $z \in C^$ で $T (z) = \frac{α z + β}{γ z + δ}$ 、 $α δ - β γ \neq = 0$ となる。

よって、 $T (R^) \subset R^$ をみたす一次分数変換は実係数の一次分数変換として表せる。 $■$

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