複素関数の問題

$f$ が正則なので、コーシー・リーマンの方程式
$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$
が成り立つ。

$u$ の偏導関数.
$$u_x=e^x(x\cos y-y\sin y)+e^x\cos y+2y=e^x\{(x+1)\cos y-y\sin y\}+2y,$$
$$u_y=e^x(-x\sin y-\sin y-y\cos y)+2x=-e^x\{(x+1)\sin y+y\cos y\}+2x.$$

$v_y=u_x$ を $y$ で積分. $\int (x+1)\cos ydy=(x+1)\sin y$、部分積分により $\int (-y\sin y)dy=y\cos y-\sin y$ だから
$$v=e^x\{(x+1)\sin y+y\cos y-\sin y\}+y^2+\phi (x)=e^x(x\sin y+y\cos y)+y^2+\phi (x).$$

$v_x=-u_y$ で $\phi$ を決める.
$$v_x=e^x(x\sin y+y\cos y)+e^x\sin y+{\phi }^{\prime }(x)=e^x\{(x+1)\sin y+y\cos y\}+{\phi }^{\prime }(x).$$
これが $-u_y=e^x\{(x+1)\sin y+y\cos y\}-2x$ に等しいので ${\phi }^{\prime }(x)=-2x$、よって $\phi (x)=-x^2+C$（$C$ は実定数）。
$$v(x,y)=e^x(x\sin y+y\cos y)-x^2+y^2+C.$$

条件 $f(0)=0$. $u(0,0)=0$ であり、$v(0,0)=C$ だから $C=0$。

（確認: このとき $f(z)=z{e}^z-i{z}^2$ であり、実際 $\mathrm{Re}(z{e}^z)=e^x(x\cos y-y\sin y)$、$\mathrm{Re}(-i{z}^2)=2xy$ である。）

値の計算. $x=1,y=\frac{\pi }{2}$ では $\sin y=1,\cos y=0$ なので
$$v\left(1,\frac{\pi }{2}\right)=e(1\cdot 1+\frac{\pi }{2}\cdot 0)-1+\frac{{\pi }^2}{4}=e-1+\frac{{\pi }^2}{4}.$$

$z{e}^z=e^x(x\cos y-y\sin y)+i{e}^x(x\sin y+y\cos y)$ なので $e^x(x\cos y-y\sin y)=\mathrm{Re}(z{e}^z)$。また $-i{z}^2=-i(x^2-y^2+2ixy)=2xy-i(x^2-y^2)$ なので $2xy=\mathrm{Re}(-i{z}^2)$。よって $u=\mathrm{Re}(z{e}^z-i{z}^2)$ で、$f(z)=z{e}^z-i{z}^2+ic$（$c$ は実定数）が正則関数の一般形（正則関数の実部が与えられたとき、虚部は実定数を除いて決まる）。$f(0)=ic=0$ より $c=0$。したがって $v=\mathrm{Im}(z{e}^z-i{z}^2)=e^x(x\sin y+y\cos y)-(x^2-y^2)$。$(x,y)=(1,\frac{\pi }{2})$: $e(1\cdot 1+\frac{\pi }{2}\cdot 0)-\left(1-\frac{{\pi }^2}{4}\right)=e-1+\frac{{\pi }^2}{4}$。検算: CR 方程式 $v_y=u_x$ を確認。$u_x=e^x(x\cos y-y\sin y)+e^x\cos y+2y$、$v_y=e^x(x\cos y+\cos y-y\sin y)+2y$ で一致。