複素関数の問題

手順 1：置き換え

$z=e^{i\theta }$ とおきます。$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと、$z$ は単位円 $C:|z|=1$ を正の向き（反時計回り）に 1 周します。オイラーの公式から
$$\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2},dz=i{e}^{i\theta }d\theta =izd\theta \text{より}d\theta =\frac{dz}{iz}$$
です。

手順 2：被積分関数を $z$ の有理式にする

$$5+3\cos \theta =5+\frac{3}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{3z^2+10z+3}{2z}$$
なので、
$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{5+3\cos \theta }={\oint }_C\frac{2z}{3z^2+10z+3}\cdot \frac{dz}{iz}={\oint }_C\frac{2}{i(3z^2+10z+3)}dz$$
となります。

手順 3：単位円の内部にある極を求める

$3z^2+10z+3=(3z+1)(z+3)$ より、極は $z=-\frac{1}{3}$ と $z=-3$ です。$|z|<1$ を満たすのは $z=-\frac{1}{3}$ だけで、これは 1 位の極です。

手順 4：留数を計算する

$$f(z)=\frac{2}{i(3z+1)(z+3)}=\frac{2}{3i\left(z+\frac{1}{3}\right)(z+3)}$$
より
$${\mathrm{Res}}_{z=-1/3}f(z)=\underset{z\to -1/3}{\lim }\left(z+\frac{1}{3}\right)f(z)=\frac{2}{3i\cdot \left(-\frac{1}{3}+3\right)}=\frac{2}{3i\cdot \frac{8}{3}}=\frac{1}{4i}$$

手順 5：留数定理

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \frac{1}{4i}=\frac{\pi }{2}$$

よって
$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{5+3\cos \theta }=\frac{\pi }{2}$$
（被積分関数は常に正で、結果も正の実数になっていることが確かめられます。）

$z=e^{i\theta }$ とおくと $d\theta =\frac{dz}{iz}$、$\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2}$ である。したがって
$$I={\oint }_{|z|=1}\frac{1}{5+\frac{3}{2}(z+z^{-1})}\frac{dz}{iz}={\oint }_{|z|=1}\frac{2dz}{i(3z^2+10z+3)}.$$
分母は $3z^2+10z+3=(3z+1)(z+3)$ と因数分解できるので、極は $z=-1/3$ と $z=-3$ である。単位円内にあるのは $z=-1/3$ だけで、これは 1 位の極である。

留数は
$${\mathrm{Res}}_{z=-1/3}\frac{2}{i(3z+1)(z+3)}=\frac{2}{i\cdot 3\cdot (-1/3+3)}=\frac{2}{i\cdot 8}=\frac{1}{4i}.$$

留数定理より
$$I=2\pi i\cdot \frac{1}{4i}=\frac{\pi }{2}.$$

検算として、公式 ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$ に $a=5,b=3$ を代入すると $\frac{2\pi }{\sqrt{25-9}}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ となり、一致する。