三角関数の有理式の定積分

$z = e^{i θ}$ と置き換えて $cos θ = \frac{z + z ^{- 1}}{2}$ , $d θ = \frac{d z}{i z}$ とし、 $\int_{0}^{2 π} R (cos θ, sin θ) d θ$ を単位円周上の複素積分に直して、 $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 - 4 c o s θ}$ のような定積分の値を求められる

前提

留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

この技能までの道筋（68 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
留数の計算（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
複素数の相等（数学II 複素数と方程式）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

説明

$θ$ が $0$ から $2 π$ まで動く三角関数の有理式の定積分 $\int_{0}^{2 π} R (cos θ, sin θ) d θ$ を、単位円周上の複素積分に書き直し、留数定理で値を求めます。ここで $R (x, y)$ は $x, y$ の多項式の比（有理式）です。実数の範囲で置換積分や部分分数分解を使うと手間のかかる $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{a + b c o s θ}$ のような積分も、極を求めて留数を計算すれば値が出ます。

なぜそうしてよいのか

$z = e^{i θ}$ と置くと、 $θ$ が $0$ から $2 π$ まで増えるあいだに、 $z$ は単位円 $∣ z ∣ = 1$ を反時計回りにちょうど 1 周します。この閉曲線を $C$ とすると、 $θ$ についての積分は $C$ に沿った複素線積分とみなせます。 $\frac{d z}{d θ} = i e^{i θ} = i z$ なので、 $d θ = \frac{d z}{i z}$ です。

オイラーの公式から $z = cos θ + i sin θ$ 、 $z^{- 1} = e^{- i θ} = cos θ - i sin θ$ です。この 2 式の和と差をとると、 $cos θ = \frac{z + z ^{- 1}}{2}$ 、 $sin θ = \frac{z - z ^{- 1}}{2 i}$ が得られます。同じ考え方で $cos n θ = \frac{z ^{n} + z ^{- n}}{2}$ も成り立ちます。これらを代入すると、 $R (cos θ, sin θ) d θ$ は $z$ の有理関数 $f (z)$ を使って $f (z) d z$ の形に書けます。

したがって $\int_{0}^{2 π} R (cos θ, sin θ) d θ = \oint_{C} f (z) d z$ です。有理関数の特異点は分母の零点（極）だけです。そこで単位円の内部にある極で留数を求め、留数定理 $\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum Res f$ を使えば値が決まります。ただし、もとの被積分関数がすべての実数 $θ$ で有限の値をとること、つまり $f$ が単位円周 $∣ z ∣ = 1$ 上に極をもたないことが前提です。

手順

$z = e^{i θ}$ と置き、 $cos θ = \frac{z + z ^{- 1}}{2}$ 、 $sin θ = \frac{z - z ^{- 1}}{2 i}$ 、 $d θ = \frac{d z}{i z}$ を代入する。これで積分を、単位円 $C : ∣ z ∣ = 1$ （反時計回り）上の $\oint_{C} f (z) d z$ に書き直す。
$z$ の負のべきが消えるように式を整理し、 $f (z) = \frac{P ( z )}{Q ( z )}$ （ $P, Q$ は多項式）の形にする。
分母 $Q (z)$ を因数分解して極を求め、 $∣ z ∣ < 1$ の内部にある極だけを選ぶ。 $∣ z ∣ = 1$ 上に極がないことも確認する。
内部にある各極で留数を計算する。1 位の極 $α$ なら $Res_{z = α} f = lim_{z \to α} (z - α) f (z)$ を使う。
留数定理 $\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum Res f$ で値を計算し、もとの定積分の値とする。結果が実数になることも確認する。

例題

定積分 $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 + 3 cos θ}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $z = e^{i θ}$ と置き、 $C$ を単位円 $∣ z ∣ = 1$ （反時計回り）とします。 $cos θ = \frac{z + z ^{- 1}}{2}$ 、 $d θ = \frac{d z}{i z}$ を代入すると
$\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 + 3 cos θ} = \oint_{C} \frac{1}{5 + \frac{3}{2} ( z + z ^{- 1} )} \cdot \frac{d z}{i z}$
となります。

【手順2】分母の $i z$ を分配して $z^{- 1}$ を消します。
$i z (5 + \frac{3}{2} (z + z^{- 1})) = 5 i z + \frac{3 i}{2} z^{2} + \frac{3 i}{2} = \frac{i}{2} (3 z^{2} + 10 z + 3)$
よって
$f (z) = \frac{2}{i ( 3 z ^{2} + 10 z + 3 )} = \frac{2}{i ( 3 z + 1 ) ( z + 3 )}$
です。

【手順3】極は $z = - \frac{1}{3}$ と $z = - 3$ で、どちらも 1 位です。 $- \frac{1}{3} < 1$ なので、 $z = - \frac{1}{3}$ は単位円の内部にあります。 $∣ - 3∣ > 1$ なので、 $z = - 3$ は外部にあります。単位円周上に極はありません。

【手順4】 $z = - \frac{1}{3}$ での留数を求めます。 $3 z + 1 = 3 (z + \frac{1}{3})$ に注意すると
$Res_{z = - 1/3} f = z \to - 1/3 lim (z + \frac{1}{3}) \frac{2}{3 i ( z + \frac{1}{3} ) ( z + 3 )} = \frac{2}{3 i \cdot \frac{8}{3}} = \frac{1}{4 i}$
です。

【手順5】留数定理より
$\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \cdot \frac{1}{4 i} = \frac{π}{2}$
です。したがって $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 + 3 cos θ} = \frac{π}{2}$ です。被積分関数はつねに正なので、結果が正の実数になったことも妥当です。

答え: $\frac{π}{2}$

よくある誤り

$d θ$ をそのまま $d z$ に置き換え、 $\frac{1}{i z}$ を掛け忘れてしまう誤り。例題でこうすると、被積分関数は $\frac{2 z}{3 z ^{2} + 10 z + 3}$ になります。極は $- \frac{1}{3}$ と $- 3$ のままですが、分子が変わるので、 $z = - \frac{1}{3}$ での留数は $- \frac{1}{12}$ になります。その結果、値は $- \frac{π i}{6}$ という実数でない誤った値になります。正しくは $d z = i z d θ$ より $d θ = \frac{d z}{i z}$ です。
単位円の外にある極の留数まで足してしまう誤り。例題で $z = - 3$ での留数 $- \frac{1}{4 i}$ も加えると、合計が $0$ になり、誤った値が出ます。正しくは、留数定理で足すのは $∣ z ∣ < 1$ にある極の留数だけです。
$sin θ = \frac{z - z ^{- 1}}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $z - z^{- 1} = 2 i sin θ$ なので、 $sin θ = \frac{z - z ^{- 1}}{2 i}$ です。
分母の最高次の係数を落としてしまう誤り。たとえば $3 z^{2} + 10 z + 3$ を $(z + \frac{1}{3}) (z + 3)$ と書くと、留数が 3 倍の $\frac{3}{4 i}$ になります。正しくは $3 z^{2} + 10 z + 3 = 3 (z + \frac{1}{3}) (z + 3)$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

三角関数の有理式の定積分

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題