複素関数の問題

ルーシェの定理を用いる。ルーシェの定理: 単純閉曲線 $C$ 上とその内部で正則な $g,h$ が $C$ 上で $|h(z)|<|g(z)|$ を満たすならば、$g$ と $g+h$ は $C$ の内部に（重複度を込めて）同じ個数の零点をもつ。

(1) 円 $|z|=2$ の内部の零点の個数

$g(z)=z^7$, $h(z)=-6z^3+2z+1$ とおく。$|z|=2$ 上で
$$|g(z)|=2^7=128,$$
$$|h(z)|\le 6|z{|}^3+2|z|+1=48+4+1=53.$$
よって $|h(z)|<|g(z)|$ が $|z|=2$ 上で成り立つ。$g(z)=z^7$ は $|z|<2$ に原点の 7 重零点をもつので、$f=g+h$ も $|z|<2$ に 7 個の零点をもつ。また、$|z|=2$ 上では $|f(z)|\ge |g(z)|-|h(z)|\ge 128-53>0$ なので、$f$ は $|z|=2$ 上に零点をもたない。（$f$ は 7 次多項式なので、これで全零点が $|z|<2$ にあることもわかる。）

(2) 円 $|z|=1$ の内部の零点の個数

$g(z)=-6z^3$, $h(z)=z^7+2z+1$ とおく。$|z|=1$ 上で
$$|g(z)|=6,$$
$$|h(z)|\le |z{|}^7+2|z|+1=1+2+1=4.$$
よって $|h(z)|<|g(z)|$ が $|z|=1$ 上で成り立つ。$g(z)=-6z^3$ は $|z|<1$ に原点の 3 重零点をもつので、$f$ も $|z|<1$ に 3 個の零点をもつ。また、$|z|=1$ 上では $|f(z)|\ge 6-4>0$ なので、$f$ は $|z|=1$ 上に零点をもたない。

(3) 円環領域の零点の個数

$|z|=1$ 上にも $|z|=2$ 上にも零点はないので、$1<|z|<2$ に含まれる零点の個数は
$$7-3=4$$
である。

ルーシェの定理を用いて、$|z|<2$ と $|z|<1$ の零点の個数をそれぞれ数え、差をとる。

(1) $|z|=2$ 上で、$g(z)=z^7$ とすると $|g(z)|=128$。一方 $|-6z^3+2z+1|\le 6\cdot 8+2\cdot 2+1=53<128$。よってルーシェの定理より $f$ は $|z|<2$ に $g$ と同数、すなわち 7 個の零点（重複度込み）をもつ。

(2) $|z|=1$ 上で、$h(z)=-6z^3$ とすると $|h(z)|=6$。一方 $|z^7+2z+1|\le 1+2+1=4<6$。よって $f$ は $|z|<1$ に $h$ と同数、すなわち 3 個の零点をもつ。

(3) $|z|=1$ 上および $|z|=2$ 上では、上の不等式により $|f(z)|\ge |g(z)|-|f(z)-g(z)|>0$（$|z|=2$）、$|f(z)|\ge 6-4=2>0$（$|z|=1$）なので $f$ は零点をもたない。したがって $1<|z|<2$ の零点の個数は $7-3=4$。

検算: 実数軸上で $f(1)=-2<0$、$f(2)=128-48+4+1=85>0$ なので $1<z<2$ に実根が少なくとも 1 つあり、4 個という結果と矛盾しない。