複素関数の問題

ルーシェの定理を使います。閉曲線 $C:|z|=1$ 上で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立てば、$f+g$ と $f$ の $C$ の内部の零点の個数（重複度込み）は等しくなります。

主要項を選ぶ。 $|z|=1$ 上では $|z^k|=1$ なので、各項の絶対値は係数の絶対値に等しくなります。係数の絶対値がいちばん大きいのは $-5z^4$ の項です。そこで
$$f(z)=-5z^4,g(z)=z^6+2z-1$$
とおきます。このとき $p(z)=f(z)+g(z)$ です。

$C$ 上で大きさを比べる。 $|z|=1$ のとき
$$|f(z)|=5|z{|}^4=5$$
です。また三角不等式より
$$|g(z)|\le |z{|}^6+2|z|+1=1+2+1=4$$
です。よって $C$ 上で $|g(z)|\le 4<5=|f(z)|$ が成り立ちます。（このことから $|p(z)|\ge |f(z)|-|g(z)|\ge 1>0$ となるので、$p$ は $C$ 上に零点をもちません。）

ルーシェの定理を適用する。 $f$ と $g$ は多項式なので複素平面全体で正則です。したがって、$p=f+g$ の $|z|<1$ における零点の個数は、$f(z)=-5z^4$ の $|z|<1$ における零点の個数に等しくなります。$f(z)=-5z^4$ の零点は $z=0$（4 重）だけで、これは $|z|<1$ に含まれます。よって $f$ の零点の個数は重複度込みで $4$ 個です。

したがって、求める個数は $4$ です。

$|z|=1$ 上で、$f(z)=-5z^4$、$g(z)=z^6+2z-1$ とおく。

$|f(z)|=5$、$|g(z)|\le |z{|}^6+2|z|+1=4$ なので、$|z|=1$ 上で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立つ。

したがってルーシェの定理より、$p=f+g$ と $f$ は開円板 $|z|<1$ 内で同じ個数の零点（重複度込み）をもつ。また $|p(z)|\ge |f(z)|-|g(z)|\ge 1>0$ なので、$|z|=1$ 上に零点はない。

$f(z)=-5z^4$ は $z=0$ に重複度 4 の零点をもつので、$p$ の零点は開円板内に 4 個ある。

検算として、$p(0)=-1\ne 0$ で、$p$ の 6 個の零点のうち 4 個が円板内、残り 2 個が $|z|>1$ にある。大きい零点は $z^6\approx 5z^4$ より $z\approx \pm \sqrt{5}$ 付近にあり、これは $|z|>1$ を満たす。よって 2 個が外側という結果と整合する。