複素関数の問題

複素数 $z$ ($z\ne 0$) の対数の主値を、偏角の主値 $-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi$ を用いて
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z$$
と定める（右辺の $\log$ は正の実数の自然対数）。このとき、$\mathrm{Log}\left(-1-\sqrt{3}i\right)$ の値を求めよ。

複素数 $z=-\sqrt{3}+i$ について、対数 $\log z$ の主値 $\mathrm{Log}z$ を求めよ。ただし、主値とは偏角 $\arg z$ を $-\pi <\arg z\le \pi$ の範囲にとったときの値 $\mathrm{Log}z=\log |z|+i\arg z$ のことであり、$\log$ は自然対数とする。

複素関数 $$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$$ は、円環領域 $2<|z|<\infty$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を $$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(|z|>2)$$ と表すとき、係数 $a_{-4}$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{3}{(z-1)(z+2)}$$
は $z=1$ と $z=-2$ に $1$ 位の極をもち、円環領域 $1<|z|<2$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(1<|z|<2)$$
と表すとき、係数 $a_3$ の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^3+ax{y}^2+2x\right)+i\left(b{x}^{2}y-y^3+2y\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+2i)$ の値を求めよ。