複素関数の問題

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2+3y$$
は $xy$ 平面全体で調和関数である（すなわち $u_{xx}+u_{yy}=0$ を満たす）とする。実数値関数 $v(x,y)$ について、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が複素平面全体で正則であり、さらに $f(0)=2i$ を満たすとき、$f(1+i)$ の値を求めよ。

複素数 $z\ne 0$ に対して、対数関数の主値を
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z(-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi )$$
で定める。ここで $\log$ は正の実数の自然対数である。$\mathrm{Log}(-\sqrt{3}+i)$ の値を求めよ。

複素数 $z$ ($z\ne 0$) の対数の主値を、偏角の主値 $-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi$ を用いて
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z$$
と定める（右辺の $\log$ は正の実数の自然対数）。このとき、$\mathrm{Log}\left(-1-\sqrt{3}i\right)$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{e^z-1-z}{z^6}$$
について、$z=0$ は $f$ の孤立特異点であり、$f$ の極である。この極の位数 $m$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2-4y$$
が調和関数（$u_{xx}+u_{yy}=0$）となるように $a$ を定める。このとき、$u$ を実部にもち、複素平面全体で正則な関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$（$v$ は実数値関数）のうち、$f(0)=3i$ を満たすものについて、$f(1+i)$ の値を求めよ。