複素関数の問題

複素数 $z\ne 0$ に対して、対数関数の主値を
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z(-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi )$$
で定める。ここで $\log$ は正の実数の自然対数である。$\mathrm{Log}(-\sqrt{3}+i)$ の値を求めよ。

複素数 $z=-\sqrt{3}+i$ について、対数 $\log z$ の主値 $\mathrm{Log}z$ を求めよ。ただし、主値とは偏角 $\arg z$ を $-\pi <\arg z\le \pi$ の範囲にとったときの値 $\mathrm{Log}z=\log |z|+i\arg z$ のことであり、$\log$ は自然対数とする。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2-4y$$
が調和関数（$u_{xx}+u_{yy}=0$）となるように $a$ を定める。このとき、$u$ を実部にもち、複素平面全体で正則な関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$（$v$ は実数値関数）のうち、$f(0)=3i$ を満たすものについて、$f(1+i)$ の値を求めよ。

$z^{1/2}$ の分枝を、正の実軸に切れ目を入れ、偏角を $0<\arg z<2\pi$ にとって定める。この分枝と鍵穴型の積分路を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$$

$a,b$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^3+ax{y}^2+2x\right)+i\left(b{x}^{2}y-y^3+2y\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+2i)$ の値を求めよ。