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複素関数の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学複素関数

$m$ を $0$ 以上の整数とし、 $C$ を原点を中心とする半径 $1$ の円周 $∣ z ∣ = 1$ に正の向き（反時計回り）を付けた閉曲線とする。このとき
$\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{1}{z} (z + \frac{1}{z})^{m} d z = ⎩ ⎨ ⎧ (m /2 m) 0 (m が偶数のとき) (m が奇数のとき)$
が成り立つことを、留数定理を用いて証明せよ。ただし $(0 0) = 1$ とする。

この問題で使うもの

留数定理による複素積分（説明と入口の問題）
留数の計算（説明と入口の問題）
ローラン展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

被積分関数の特異点は $z = 0$ だけです。留数定理により、積分は $z = 0$ での留数で決まります。

ヒント 2

二項定理で $(z + \frac{1}{z})^{m} = \sum_{k = 0}^{m} (k m) z^{2 k - m}$ と展開できます。留数は $z^{- 1}$ の係数です。

ヒント 3

被積分関数は $\sum_{k = 0}^{m} (k m) z^{2 k - m - 1}$ となります。指数 $2 k - m - 1$ が $- 1$ になるのはどんな $k$ のときか、 $m$ の偶奇で場合分けして調べましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

二項定理で被積分関数を $\sum_{k} (k m) z^{2 k - m - 1}$ の形に展開し、特異点が $z = 0$ だけであることを述べている（3 点）
この有限和が $z = 0$ を中心とするローラン展開であり、留数が $z^{- 1}$ の係数であることを用いている（2 点）
$2 k - m - 1 = - 1$ となる $k$ を調べ、 $m$ が偶数なら係数 $(m /2 m)$ 、奇数なら該当する項がなく $0$ となることを場合分けして示している（3 点）
$z = 0$ が $C$ の内部にあることを確認して留数定理を適用し、結論を述べている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. 被積分関数を二項定理で展開すると、 $z$ のべきの有限和（原点を中心とするローラン展開）になる。原点での留数は $z^{- 1}$ の係数なので、それを読み取って留数定理を使う。

ステップ 1（被積分関数の展開）. $f (z) = \frac{1}{z} (z + \frac{1}{z})^{m}$ とおく。 $z \neq = 0$ のとき、二項定理より
$(z + \frac{1}{z})^{m} = k = 0 \sum m (k m) z^{k} (\frac{1}{z})^{m - k} = k = 0 \sum m (k m) z^{2 k - m}$
なので
$f (z) = k = 0 \sum m (k m) z^{2 k - m - 1} (z \neq = 0) (1)$
である。各項 $z^{2 k - m - 1}$ は $z \neq = 0$ で正則なので、 $f$ は $C ∖ {0}$ で正則であり、特異点は $z = 0$ だけである。

ステップ 2（ $z = 0$ での留数）. $(1)$ は $0 < ∣ z ∣ < \infty$ で成り立つ有限個の項からなる式なので、これがそのまま $f$ の $z = 0$ を中心とするローラン展開である。留数 $Res_{z = 0} f$ はローラン展開における $z^{- 1}$ の係数である。 $(1)$ で指数が $- 1$ になるのは
$2 k - m - 1 = - 1 ⟺ 2 k = m$
を満たす整数 $k$ （ $0 \leq k \leq m$ ）の項である。
- $m$ が偶数のとき、 $k = m /2$ はちょうど $1$ つの条件を満たす整数で $0 \leq m /2 \leq m$ なので、 $z^{- 1}$ の係数は $(m /2 m)$ である。
- $m$ が奇数のとき、 $2 k = m$ を満たす整数 $k$ は存在しないので、 $z^{- 1}$ の項はなく、係数は $0$ である。

したがって
$Res_{z = 0} f = ⎩ ⎨ ⎧ (m /2 m) 0 (m が偶数) (m が奇数)$
である（ $m = 0$ のときは $f (z) = 1/ z$ で留数は $1 = (0 0)$ となり、この式に含まれる）。

ステップ 3（留数定理の適用）. $f$ は $C$ 上および $C$ の内部で $z = 0$ を除いて正則であり、 $z = 0$ は $C$ の内部にあって $C$ 上にはない。留数定理より
$\oint_{C} f (z) d z = 2 π i Res_{z = 0} f .$
両辺を $2 π i$ で割ると
$\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{1}{z} (z + \frac{1}{z})^{m} d z = Res_{z = 0} f .$

ステップ 4（まとめ）. ステップ 2 とステップ 3 より、この積分は $m$ が偶数のとき $(m /2 m)$ 、 $m$ が奇数のとき $0$ に等しい。 $■$

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