複素関数の問題

$f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とおく。$z^{1/2}$ は問題文の分枝（$0<\arg z<2\pi$）で考える。

1. 積分路をとる。 $0<\epsilon <1<9<R$ として、次の 4 つをつないだ閉曲線 $C$（鍵穴型の積分路）をとる。
- 切れ目の上側の線分：$x$ を $\epsilon$ から $R$ まで（$\arg z=0$ 側）
- 大円 $C_R:|z|=R$ を反時計回りに 1 周
- 切れ目の下側の線分：$x$ を $R$ から $\epsilon$ まで（$\arg z=2\pi$ 側）
- 小円 $C_{\epsilon }:|z|=\epsilon$ を時計回りに 1 周

$C$ の内部にある $f$ の特異点は 1 位の極 $z=-1,-9$ だけである。

2. 切れ目の上下での値。 上側では $z=x$（$\theta =0$）なので $z^{1/2}=\sqrt{x}$。下側では $z=x{e}^{2\pi i}$ なので $z^{1/2}=\sqrt{x}{e}^{\pi i}=-\sqrt{x}$。よって
$${\int }_{\text{上側}}fdz+{\int }_{\text{下側}}fdz={\int }_{\epsilon }^R\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx+{\int }_R^{\epsilon }\frac{-\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx=2{\int }_{\epsilon }^R\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx.$$

3. 円弧上の積分の評価。 $C_R$ 上では $|z^{1/2}|=\sqrt{R}$, $|z+1|\ge R-1$, $|z+9|\ge R-9$ より
$$\left|{\int }_{C_R}fdz\right|\le \frac{\sqrt{R}}{(R-1)(R-9)}\cdot 2\pi R\to 0(R\to \infty ).$$
$C_{\epsilon }$ 上では $|z+1|\ge 1-\epsilon$, $|z+9|\ge 9-\epsilon$ より
$$\left|{\int }_{C_{\epsilon }}fdz\right|\le \frac{\sqrt{\epsilon }}{(1-\epsilon )(9-\epsilon )}\cdot 2\pi \epsilon \to 0(\epsilon \to 0).$$

4. 留数の計算。 分枝に注意して $-1=e^{\pi i}$, $-9=9e^{\pi i}$ より $(-1{)}^{1/2}=e^{\pi i/2}=i$, $(-9{)}^{1/2}=3e^{\pi i/2}=3i$。
$${\mathrm{Res}}_{z=-1}f=\frac{(-1{)}^{1/2}}{-1+9}=\frac{i}{8},{\mathrm{Res}}_{z=-9}f=\frac{(-9{)}^{1/2}}{-9+1}=-\frac{3i}{8}.$$
和は $-\frac{2i}{8}=-\frac{i}{4}$。

5. まとめ。 留数定理より ${\oint }_{C}fdz=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}$。$\epsilon \to 0,R\to \infty$ とすると、2, 3 より
$$2{\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx=\frac{\pi }{2}\text{よって}{\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx=\frac{\pi }{4}.$$

（検算：$x=t^2$ と置換すると ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2+9)}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }\left(-\frac{1/8}{t^2+1}+\frac{9/8}{t^2+9}\right)dt=-\frac{\pi }{8}+\frac{9}{8}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}$ となり一致する。）

被積分関数を $f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とし、正の実軸に沿った切れ目をまわる鍵穴型の積分路 $C$ を取る。この積分路は、半径 $R$ の大円、半径 $\epsilon$ の小円、切れ目の上側 ($\theta =0^{+}$) と下側 ($\theta =2{\pi }^{-}$) からなる。

1. 大円上では $|f|\sim R^{-3/2}$ なので、大円上の積分は長さ $2\pi R$ との積で $R^{-1/2}$ のオーダーとなり、$R\to \infty$ で $0$ に収束する。小円上では $|f|=O(\sqrt{\epsilon })$ なので、積分は ${\epsilon }^{3/2}$ のオーダーとなり、$\epsilon \to 0$ で $0$ に収束する。
2. 切れ目の上側では $z=x$ で $z^{1/2}=\sqrt{x}$。下側では $z=x{e}^{2\pi i}$ で $z^{1/2}=-\sqrt{x}$。上側は $0\to \infty$、下側は $\infty \to 0$ の向きなので、2 つの寄与は $I+I=2I$ となる。ここで $I={\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$ である。
3. 留数を求める。
- $z=-1=e^{i\pi }$ では $z^{1/2}=e^{i\pi /2}=i$ なので、$\mathrm{Res}=\frac{i}{-1+9}=\frac{i}{8}$。
- $z=-9=9e^{i\pi }$ では $z^{1/2}=3i$ なので、$\mathrm{Res}=\frac{3i}{-9+1}=-\frac{3i}{8}$。
- 留数の和は $-\frac{2i}{8}=-\frac{i}{4}$。
4. 留数定理より $2I=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}$ なので、$I=\frac{\pi }{4}$。

検算として、公式 ${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+a)(x+b)}dx=\frac{\pi }{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ に $a=1,b=9$ を代入すると $\frac{\pi }{1+3}=\frac{\pi }{4}$ となり、一致する。