複素関数の問題

方針　$f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とおく。$z^{1/2}=|z{|}^{1/2}{e}^{i\arg z/2}$（$0<\arg z<2\pi$）とする。

積分路　$0<\epsilon <1<9<R$ として、次の 4 つをつないだ閉曲線（鍵穴型）$C$ をとる。
- $L_1$：切れ目の上側を $\epsilon$ から $R$ へ（$\arg z\to 0$）
- $C_R$：$|z|=R$ を反時計回りに 1 周
- $L_2$：切れ目の下側を $R$ から $\epsilon$ へ（$\arg z\to 2\pi$）
- $C_{\epsilon }$：$|z|=\epsilon$ を時計回りに 1 周

$C$ の内部にある $f$ の特異点は 1 位の極 $z=-1,-9$ である。

切れ目の上下の値　上側では $z^{1/2}=\sqrt{x}$ である。下側では $z^{1/2}=\sqrt{x}{e}^{i\pi }=-\sqrt{x}$ である。したがって、求める積分を $I$ とすると、
$${\int }_{L_1}fdz+{\int }_{L_2}fdz\to {\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx+{\int }_{\infty }^0\frac{-\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx=2I$$

円周上の積分
- $C_R$ 上：$|f|\le \frac{R^{1/2}}{(R-1)(R-9)}$ より、$\left|{\int }_{C_R}fdz\right|\le \frac{2\pi R\cdot R^{1/2}}{(R-1)(R-9)}\to 0$（$R\to \infty$）。
- $C_{\epsilon }$ 上：$|f|\le \frac{{\epsilon }^{1/2}}{(1-\epsilon )(9-\epsilon )}$ より、$\left|{\int }_{C_{\epsilon }}fdz\right|\le \frac{2\pi \epsilon \cdot {\epsilon }^{1/2}}{(1-\epsilon )(9-\epsilon )}\to 0$（$\epsilon \to 0$）。

留数　$-1=e^{i\pi }$, $-9=9e^{i\pi }$（この分枝での偏角は $\pi$）である。
$${\mathrm{Res}}_{z=-1}f=\frac{(-1{)}^{1/2}}{-1+9}=\frac{e^{i\pi /2}}{8}=\frac{i}{8}$$
$${\mathrm{Res}}_{z=-9}f=\frac{(-9{)}^{1/2}}{-9+1}=\frac{3e^{i\pi /2}}{-8}=-\frac{3i}{8}$$
留数の和は $\frac{i}{8}-\frac{3i}{8}=-\frac{i}{4}$ である。

まとめ　留数定理 ${\oint }_{C}fdz=2\pi i\sum \mathrm{Res}f$ で $\epsilon \to 0$, $R\to \infty$ とすると、
$$2I=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}$$
よって $I=\frac{\pi }{4}$ である。

（検算：$x=t^2$ と置換すると $I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2+9)}dt$ となり、半円の積分路を用いて計算しても $\frac{\pi }{4}$ になる。）

$f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とし、$0<\arg z<2\pi$ の分枝をとる。鍵穴型の積分路は、大円 $C_R$、小円 $C_{\epsilon }$、および正の実軸の上側と下側の線分からなる。

1. 大円上では $|f|=O(R^{-3/2})$ なので、積分は $2\pi R\cdot O(R^{-3/2})\to 0$ となる。小円上では $|f|=O({\epsilon }^{1/2})$ なので、積分は $2\pi \epsilon \cdot O({\epsilon }^{1/2})\to 0$ となる。

2. 実軸の上側（$\arg z=0$）では $z^{1/2}=\sqrt{x}$ である。下側（$\arg z=2\pi$）では $z^{1/2}=-\sqrt{x}$ である。積分路は上側を $0\to \infty$、下側を $\infty \to 0$ と進むので、線分からの寄与は $I-(-I)=2I$ となる。ここで $I={\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$ である。

3. 極は $z=-1=e^{i\pi }$ と $z=-9=9e^{i\pi }$ にあり、どちらも積分路の内部にある。
- $z=-1$ での留数は $\frac{i}{-1+9}=\frac{i}{8}$。
- $z=-9$ での留数は $\frac{3i}{-9+1}=-\frac{3i}{8}$。
- 留数の和は $-\frac{i}{4}$。

4. 留数定理より $2I=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}$。したがって $I=\frac{\pi }{4}$。

検算として、部分分数 $\frac{1}{(x+1)(x+9)}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+9}\right)$ と公式 ${\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{x+a}dx=\frac{\pi a^{s-1}}{\sin \pi s}$ を $s=3/2$ へ解析接続して使う。すると $\frac{1}{8}(-\pi \cdot 1+\pi \cdot 3)=\frac{\pi }{4}$ となり、一致する。