複素関数の問題

手順 1：極の位数を調べる

分子 $e^{2z}$ は $z=1$ で正則で、$e^2\ne 0$ です。分母は $(z-1{)}^3$ なので、$z=1$ は $f(z)$ の $3$ 位の極です。

手順 2：$m$ 位の極の留数の公式を使う

$m$ 位の極 $z=a$ における留数は
$${\mathrm{Res}}_{z=a}f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}\{(z-a{)}^{m}f(z)\}$$
で求められます。ここでは $a=1$, $m=3$ です。

まず $(z-1{)}^{3}f(z)$ を計算すると、分母が打ち消されて
$$(z-1{)}^{3}f(z)=e^{2z}$$
となります。

これを $m-1=2$ 回微分します。
$$\frac{d}{dz}{e}^{2z}=2e^{2z},\frac{d^2}{d{z}^2}{e}^{2z}=4e^{2z}$$

よって
$${\mathrm{Res}}_{z=1}f(z)=\frac{1}{2!}\underset{z\to 1}{\lim }4e^{2z}=\frac{1}{2}\cdot 4e^2=2e^2$$
です。

確認（ローラン展開による方法）

$w=z-1$ とおくと $e^{2z}=e^2{e}^{2w}$ です。$e^{2w}$ をマクローリン展開すると
$$e^{2w}=1+2w+\frac{(2w{)}^2}{2!}+\frac{(2w{)}^3}{3!}+\cdots =1+2w+2w^2+\cdots$$
となります。したがって
$$f(z)=\frac{e^2}{w^3}\left(1+2w+2w^2+\cdots \right)=\frac{e^2}{w^3}+\frac{2e^2}{w^2}+\frac{2e^2}{w}+\cdots$$
です。$w^{-1}=(z-1{)}^{-1}$ の係数は $2e^2$ で、公式で求めた値と一致します。

答え：$2e^2$

$z=1$ は 3 位の極である。留数は ${\mathrm{Res}}_{z=1}f=\frac{1}{2!}\frac{d^2}{d{z}^2}{\left[e^{2z}\right]}_{z=1}$ で求められる。

$\frac{d^2}{d{z}^2}{e}^{2z}=4e^{2z}$ なので、$z=1$ で $4e^2$ となり、留数は $\frac{4e^2}{2}=2e^2$ である。

検算：$z-1=w$ とおくと $e^{2z}=e^2{e}^{2w}=e^2(1+2w+2w^2+\cdots )$ である。$f=e^2(1+2w+2w^2+\cdots )/w^3$ より、$w^{-1}$ の係数は $2e^2$ となり、一致する。