複素関数の問題

極の位数. $1-\cos z=\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{24}+\frac{z^6}{720}-\cdots$ は $z=0$ で 2 位の零点をもつので、$f$ は $z=0$ で 5 位の極をもつ。留数はローラン展開の $z^{-1}$ の係数なので、展開を直接求める。

$\frac{1}{1-\cos z}$ の展開.
$$1-\cos z=\frac{z^2}{2}\left(1-\frac{z^2}{12}+\frac{z^4}{360}-\cdots \right).$$
$w=\frac{z^2}{12}-\frac{z^4}{360}+\cdots$ とおくと $\frac{1}{1-w}=1+w+w^2+\cdots$ で、$z^4$ の項まで書くと
$$\frac{1}{1-w}=1+\frac{z^2}{12}-\frac{z^4}{360}+\frac{z^4}{144}+O(z^6)=1+\frac{z^2}{12}+\left(\frac{1}{144}-\frac{1}{360}\right)z^4+O(z^6).$$
$\frac{1}{144}-\frac{1}{360}=\frac{5-2}{720}=\frac{1}{240}$ なので
$$\frac{1}{1-\cos z}=\frac{2}{z^2}\left(1+\frac{z^2}{12}+\frac{z^4}{240}+O(z^6)\right)=\frac{2}{z^2}+\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}+O(z^4).$$

$f$ の展開. これを $z^3$ で割ると
$$f(z)=\frac{2}{z^5}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z}+O(z).$$
よって
$${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)=\frac{1}{120}.$$

（参考: 5 位の極の公式 $\frac{1}{4!}{\lim }_{z\to 0}\frac{d^4}{d{z}^4}\left(z^{5}f(z)\right)$ を使っても同じ値になるが、ローラン展開を使うほうが計算が簡単である。）

$1-\cos z=\frac{z^2}{2}\left(1-\frac{z^2}{12}+\frac{z^4}{360}-\cdots \right)$ なので、$w=z^2$ とおくと $\frac{1}{1-\frac{w}{12}+\frac{w^2}{360}-\cdots }=1+\frac{w}{12}+\left(\frac{1}{144}-\frac{1}{360}\right)w^2+\cdots =1+\frac{w}{12}+\frac{w^2}{240}+\cdots$。したがって $\frac{1}{1-\cos z}=\frac{2}{z^2}\left(1+\frac{z^2}{12}+\frac{z^4}{240}+\cdots \right)=\frac{2}{z^2}+\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}+\cdots$。これを $z^3$ で割ると $f(z)=\frac{2}{z^5}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z}+\cdots$ となり、$z^{-1}$ の係数は $\frac{1}{120}$。検算: $\frac{1}{1-\cos z}$ の既知の展開 $\frac{2}{z^2}+\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}+\cdots$ と一致する。よって ${\mathrm{Res}}_{z=0}f=\frac{1}{120}$。