複素関数の問題

$f(z)=\frac{1}{(z^2+1)(z^2+2z+5)}$ とおく。分母は $z^2+1=(z-i)(z+i)$、$z^2+2z+5=(z+1{)}^2+4=(z-(-1+2i))(z-(-1-2i))$ と因数分解できるので、$f$ の極は $z=\pm i,-1\pm 2i$ で、いずれも 1 位の極である。実軸上に極はない。

積分路 $R>3$ とし、実軸上の線分 $[-R,R]$ と、上半平面の半円 $C_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \pi )$ をつないだ閉曲線を反時計回りにとる。この内部にある極は $z=i$ と $z=-1+2i$ である（$|-1+2i|=\sqrt{5}<R$）。留数定理より
$${\int }_{-R}^{R}f(x)dx+{\int }_{C_R}f(z)dz=2\pi i\left({\mathrm{Res}}_{z=i}f+{\mathrm{Res}}_{z=-1+2i}f\right).$$

留数の計算 1 位の極なので、その極を与える因数を除いた式に代入すればよい。

$z=i$ では $z^2+2z+5=i^2+2i+5=4+2i$ だから
$${\mathrm{Res}}_{z=i}f=\frac{1}{(i+i)(4+2i)}=\frac{1}{2i(4+2i)}=\frac{1}{-4+8i}=\frac{-4-8i}{80}.$$

$z=-1+2i$ では $z-(-1-2i)=4i$、また $z^2=(-1+2i{)}^2=-3-4i$ より $z^2+1=-2-4i$ だから
$${\mathrm{Res}}_{z=-1+2i}f=\frac{1}{(-2-4i)\cdot 4i}=\frac{1}{16-8i}=\frac{16+8i}{320}=\frac{4+2i}{80}.$$

よって留数の和は
$$\frac{-4-8i}{80}+\frac{4+2i}{80}=\frac{-6i}{80}=-\frac{3i}{40}.$$

半円上の積分 $|z|=R$ のとき $|z^2+1|\ge R^2-1$、$|z^2+2z+5|\ge R^2-2R-5$（$R>1+\sqrt{6}$ で正）なので
$$\left|{\int }_{C_R}f(z)dz\right|\le \frac{\pi R}{(R^2-1)(R^2-2R-5)}\to 0(R\to \infty ).$$

結論 $R\to \infty$ とすると（被積分関数は $|x|\to \infty$ で $1/x^4$ の程度で減少するので広義積分は収束する）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2x+5)}=2\pi i\cdot \left(-\frac{3i}{40}\right)=\frac{6\pi }{40}=\frac{3\pi }{20}.$$

（検算）部分分数分解すると
$$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2x+5)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{10}\left(\frac{x+1}{(x+1{)}^2+4}-\frac{x}{x^2+1}\right)-\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{(x+1{)}^2+4}$$
となる。かっこの中の 2 項はそれぞれ単独では $(-\infty ,\infty )$ で積分が収束しないので、まとめて $[-R,R]$ で積分すると
$$\frac{1}{2}[\log \frac{(x+1{)}^2+4}{x^2+1}{]}_{-R}^R\to 0(R\to \infty )$$
である。残りの 2 項の積分はそれぞれ $\pi$ と $\frac{\pi }{2}$ なので、積分の値は $\frac{\pi }{5}-\frac{1}{10}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{20}$ となり一致する。

$f(z)=\frac{1}{(z^2+1)(z^2+2z+5)}$ とおく。分母の零点は $z=\pm i,-1\pm 2i$ で、いずれも単純極。$|z|$ が大きいとき $|f(z)|=O(|z{|}^{-4})$ なので、上半平面の大きな半円上の積分は 0 に収束する。よって積分は上半平面の極 $z=i,-1+2i$ における留数の和の $2\pi i$ 倍。

$z=i$: $\mathrm{Res}=\frac{1}{2i(i^2+2i+5)}=\frac{1}{2i(4+2i)}=\frac{1}{-4+8i}=\frac{-4-8i}{80}=\frac{-16-32i}{320}$。

$z=-1+2i$: $z^2=-3-4i$ より $z^2+1=-2-4i$。$z^2+2z+5$ の微分は $2z+2=4i$。$\mathrm{Res}=\frac{1}{(-2-4i)\cdot 4i}=\frac{1}{16-8i}=\frac{16+8i}{320}$。

留数の和 $=\frac{-24i}{320}=-\frac{3i}{40}$。

積分 $=2\pi i\cdot \left(-\frac{3i}{40}\right)=\frac{6\pi }{40}=\frac{3\pi }{20}$。

検算: 被積分関数は正なので値は正で、${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+1)\cdot 4}$ 程度（$x^2+2x+5\ge 4$ より上からの評価 $\pi /4\approx 0.785$）より小さい。$3\pi /20\approx 0.471$ は妥当。