複素関数の問題

方針

偏角の原理を使う。$C$ 上に $f$ の零点も極もなければ、
$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=N-P$$
が成り立つ。ここで $N$ は $|z|<1$ 内の $f$ の零点の個数、$P$ は極の個数であり、どちらも重複度（位数）を込めて数える。

$C$ 上に零点・極がないこと

$p(z)=z^7-5z^3+1$ とおく。$|z|=1$ のとき
$$|p(z)|\ge |5z^3|-|z^7|-1=5-1-1=3>0$$
なので、$C$ 上に零点はない。また、分母が $0$ になる点は $z=\frac{1}{2},3$ であり、どちらも $C$ 上にはない。

零点の個数 $N$（ルーシェの定理）

$g(z)=-5z^3$、$h(z)=z^7+1$ とおくと $p=g+h$ である。$|z|=1$ 上では
$$|h(z)|\le |z{|}^7+1=2<5=|g(z)|$$
が成り立つ。よってルーシェの定理により、$p$ と $g$ は $|z|<1$ 内に同じ個数の零点をもつ。$g(z)=-5z^3$ の零点は $z=0$（3 重）なので、$p$ は $|z|<1$ 内に重複度を込めて $3$ 個の零点をもつ。

分母の零点 $z=\frac{1}{2}$ で $p$ が $0$ になると約分が起こるので、これを確かめる。
$$p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{128}-\frac{5}{8}+1=\frac{1-80+128}{128}=\frac{49}{128}\ne 0$$
また $p(3)=3^7-5\cdot 27+1=2053\ne 0$ である。したがって約分は起こらず、$f$ の $|z|<1$ 内の零点はちょうど $p$ の零点であり、$N=3$ である。

極の個数 $P$

$|z|<1$ 内にある極は $z=\frac{1}{2}$ だけである。分母 $(2z-1{)}^2=4{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2$ なので、これは 2 位の極である。$z=3$ は $|z|>1$ にあるので数えない。よって $P=2$ である。

結論

$${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)=2\pi i(3-2)=2\pi i$$

参考（対数微分による確認）

$$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{p^{\prime }}{p}-\frac{2}{z-\frac{1}{2}}-\frac{1}{z-3}$$
である。右辺の各項を $C$ に沿って積分すると、第 1 項は $2\pi i\cdot 3$、第 2 項は $-2\cdot 2\pi i$、第 3 項は $0$（$z=3$ は $C$ の外側）となる。合計は $2\pi i$ となり、上の結果と一致する。

偏角の原理より、${\oint }_C{f}^{\prime }/fdz=2\pi i(N-P)$ である。ここで $N$、$P$ は $|z|<1$ 内の $f$ の零点と極の個数（重複度込み）である。

【零点】分子 $g(z)=z^7-5z^3+1$ について、$|z|=1$ 上で $|-5z^3|=5$、$|z^7+1|\le 2$ より $5>2$ である。よってルーシェの定理から、$g$ は $|z|<1$ 内で $-5z^3$ と同数の零点、すなわち重複度込みで 3 個の零点をもつ。また $|z|=1$ 上では $g\ne 0$ である。

【極】分母の零点は $z=1/2$（2位）と $z=3$（1位）。$z=1/2$ は単位円内にあり、$z=3$ は円外にある。分子は $g(1/2)=\frac{1}{128}-\frac{5}{8}+1\ne 0$ なので約分は起こらず、$z=1/2$ は 2 位の極である。したがって $P=2$。

以上より $N=3$、$P=2$ で、
$${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(3-2)=2\pi i.$$

【検算】$f^{\prime }/f=g^{\prime }/g-2\cdot 2/(2z-1)-1/(z-3)$ と分解できる。$g^{\prime }/g$ の積分は $2\pi i\cdot 3$、$-\frac{4}{2z-1}=-\frac{2}{z-1/2}$ の積分は $-2\cdot 2\pi i$、$-1/(z-3)$ の積分は $0$。合計は $2\pi i(3-2)=2\pi i$ となり一致する。