複素関数の問題

方針 偏角の原理より、$C$ 上に零点も極もない有理型関数 $g$ に対して
$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz=N-P$$
が成り立つ。ここで $N$, $P$ はそれぞれ $|z|<1$ 内の $g$ の零点・極の個数（重複度込み）である。

零点の個数 $N$ $e^z$ は零点をもたないので、$g$ の零点は $p(z)=z^5+7z^2+1$ の零点である（後で確かめるように、$p$ は $z=0,\frac{1}{2}$ で $0$ にならないので分母と約分されない）。$|z|=1$ 上で $F(z)=7z^2$, $G(z)=z^5+1$ とおくと
$$|G(z)|\le |z{|}^5+1=2<7=|F(z)|$$
である。よってルーシェの定理により、$p=F+G$ と $F=7z^2$ は $|z|<1$ 内に同じ個数の零点をもつ。$7z^2$ の零点は $z=0$（2 重）なので、$p$ は $|z|<1$ 内にちょうど 2 個の零点をもつ。また $|z|=1$ 上では $|p(z)|\ge 7-2=5>0$ なので $C$ 上に零点はない。
さらに $p(0)=1\ne 0$、$p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{32}+\frac{7}{4}+1\ne 0$ なので、これらの零点は分母の零点と重ならない。したがって $N=2$。

極の個数 $P$ 分母 $z^3(2z-1{)}^2$ の零点は $z=0$（3 重）と $z=\frac{1}{2}$（2 重）で、どちらも $|z|<1$ 内にあり、分子はそこで $0$ にならない。よって $z=0$ は 3 位の極、$z=\frac{1}{2}$ は 2 位の極で $P=3+2=5$。これらは $C$ 上にない。

結論
$${\oint }_C\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz=2\pi i(N-P)=2\pi i(2-5)=-6\pi i.$$

（確認）対数微分すると
$$\frac{g^{\prime }}{g}=\frac{p^{\prime }}{p}+1-\frac{3}{z}-\frac{2}{z-\frac{1}{2}}$$
であり、各項の積分は順に $2\pi i\cdot 2$, $0$, $-6\pi i$, $-4\pi i$ となるので、合計 $-6\pi i$ で一致する。

偏角の原理より、${\oint }_C\frac{g^{\prime }}{g}dz=2\pi i(Z-P)$ である。ここで $Z$, $P$ は $|z|<1$ 内の $g$ の零点・極の個数（重複度込み）。

極: 分母は $z^3(2z-1{)}^2$。$z=0$ は 3 位の極（分子は $z=0$ で $1\ne 0$）、$z=1/2$ は 2 位の極（分子は $1/32+7/4+1\ne 0$）。ともに $|z|<1$ 内にあるので $P=3+2=5$。

零点: $e^z$ は零点をもたない。$z^5+7z^2+1$ の $|z|<1$ 内の零点数をルーシェの定理で数える。$|z|=1$ 上で $|7z^2|=7$、$|z^5+1|\le 2<7$。したがって $z^5+7z^2+1$ は $7z^2$ と同数の零点を $|z|<1$ 内にもち、$7z^2$ は $z=0$ に 2 重零点をもつので $Z=2$。$|z|=1$ 上に零点・極はない（ルーシェの不等式が厳密に成り立ち、極は $0,1/2$ のみ）。

よって $Z-P=2-5=-3$ で、積分値は $2\pi i\cdot (-3)=-6\pi i$。

検算: 対数微分は $g^{\prime }/g=\sum (\text{零点の }1/(z-a))-3/z-2\cdot 2/(2z-1)\cdots$ の形で、各項の留数の和が $Z-P$ になる。これも $-3$ と一致する。