複素関数の問題

$f(z)=\frac{z{e}^{1/z}}{2z-1}$ とおく。$f$ の特異点は $z=\frac{1}{2}$（1 位の極）と $z=0$（真性特異点）で、どちらも $C$ の内部にある。2 通りの方法で計算する。

方法 1：内部の留数を直接求める

$z=\frac{1}{2}$ での留数：$f(z)=\frac{z{e}^{1/z}}{2\left(z-\frac{1}{2}\right)}$ より
$${\mathrm{Res}}_{z=1/2}f=\frac{\frac{1}{2}{e}^2}{2}=\frac{e^2}{4}.$$

$z=0$ での留数：$0<|z|<\frac{1}{2}$ でローラン展開する。
$$\frac{1}{2z-1}=-\frac{1}{1-2z}=-\sum _{m=0}^{\infty }{2}^m{z}^m,e^{1/z}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^{-n}}{n!}$$
より
$$f(z)=-\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^m}{n!}{z}^{m+1-n}.$$
$z^{-1}$ の係数は $m+1-n=-1$、すなわち $n=m+2$ の項を集めたもので
$${\mathrm{Res}}_{z=0}f=-\sum _{m=0}^{\infty }\frac{2^m}{(m+2)!}=-\frac{1}{4}\sum _{k=2}^{\infty }\frac{2^k}{k!}=-\frac{1}{4}\left(e^2-1-2\right)=-\frac{e^2-3}{4}.$$

したがって留数の和は
$$\frac{e^2}{4}-\frac{e^2-3}{4}=\frac{3}{4}.$$

方法 2：無限遠点での留数を使う

$C$ の外部 $|z|>1$ には $f$ の特異点がないので、${\oint }_{C}f(z)dz=-2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=\infty }f$ であり、${\mathrm{Res}}_{z=\infty }f$ は $|z|>1$ でのローラン展開の $z^{-1}$ の係数 $c_{-1}$ の符号を変えたものである。$|z|>1$ で
$$\frac{z}{2z-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2z}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2z}+\frac{1}{4z^2}+\cdots \right),e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\cdots$$
だから、積の $z^{-1}$ の係数は
$$c_{-1}=\frac{1}{2}\left(1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1\right)=\frac{3}{4}.$$
これは方法 1 の留数の和と一致する。

結論 留数定理より
$${\oint }_C\frac{z{e}^{1/z}}{2z-1}dz=2\pi i\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\pi i}{2}.$$

$f(z)=\frac{z{e}^{1/z}}{2z-1}$ は $|z|<1$ 内に $z=\frac{1}{2}$（単純極）と $z=0$（真性特異点）をもつ。留数定理より積分 $=2\pi i({\mathrm{Res}}_{z=1/2}f+{\mathrm{Res}}_{z=0}f)$。

(1) $z=\frac{1}{2}$: $\mathrm{Res}=\frac{z{e}^{1/z}}{2}{|}_{z=1/2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{e}^2=\frac{e^2}{4}$。

(2) $z=0$: $0<|z|<\frac{1}{2}$ で $\frac{1}{2z-1}=-{\sum }_{k\ge 0}{2}^k{z}^k$、$e^{1/z}={\sum }_{m\ge 0}\frac{z^{-m}}{m!}$。よって $f=-{\sum }_{k,m}\frac{2^k}{m!}{z}^{1+k-m}$。$z^{-1}$ の係数は $m=k+2$ のときで、
${\mathrm{Res}}_{z=0}f=-{\sum }_{k\ge 0}\frac{2^k}{(k+2)!}=-\frac{1}{4}{\sum }_{k\ge 0}\frac{2^{k+2}}{(k+2)!}=-\frac{1}{4}\left(e^2-1-2\right)=-\frac{e^2-3}{4}$。

(3) 留数の和 $=\frac{e^2}{4}-\frac{e^2-3}{4}=\frac{3}{4}$。したがって積分 $=2\pi i\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\pi i}{2}$。

検算（無限遠での留数）: $|z|>1$ で $f=\frac{e^{1/z}}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2z}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{z}+\cdots \right)\left(1+\frac{1}{2z}+\cdots \right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{4z}+\cdots$。$z^{-1}$ の係数は $\frac{3}{4}$ で、${\oint }_{C}fdz=2\pi i\cdot \frac{3}{4}$ と一致する。