複素関数の問題

方針 $z=0$ のまわり $0<|z|<\infty$ でのローラン展開を求め、主要部（負べきの項）がどこまで続くかを調べます。

ステップ 1：分子をテイラー展開する

$e^z$ のマクローリン展開はすべての複素数 $z$ で成り立ち、
$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots$$
です。よって
$$e^z-1-z=\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^5}{120}+\frac{z^6}{720}+\cdots$$

ステップ 2：$z^6$ で割ってローラン展開を得る

$0<|z|$ において
$$f(z)=\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^2}+\frac{1}{120z}+\frac{1}{720}+\frac{z}{5040}+\cdots$$

ステップ 3：主要部を読む

主要部は
$$\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^2}+\frac{1}{120z}$$
で、有限個の項からなり、最も低いべきは $z^{-4}$（係数 $\frac{1}{2}\ne 0$）です。主要部が有限個の項で終わるので $z=0$ は極であり、その位数は最も低いべきの次数 $4$ です。

確認（極限による判定）
$$\underset{z\to 0}{\lim }{z}^{4}f(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\frac{z^2}{24}+\cdots \right)=\frac{1}{2}$$
となり、これは $0$ でない有限の値です。したがって $z=0$ は $4$ 位の極です。

答え：$m=4$

$e^z-1-z={\sum }_{k\ge 2}{z}^k/k!=z^2/2+z^3/6+\cdots$ なので、最低次の項は $z^2$ で係数は $1/2\ne 0$。したがって $f(z)=\frac{z^2(1/2+z/6+\cdots )}{z^6}=z^{-4}\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\cdots \right)$。ここで括弧内は $z=0$ で正則かつ値が $1/2\ne 0$ なので、$z=0$ は 4 位の極である。検算：$z^{4}f(z)\to 1/2$（有限で 0 でない）なので位数は 4。