複素関数の問題

領域 $|z|>1$ では $\left|\frac{1}{z}\right|<1$ なので、$\frac{1}{z}$ のべきで展開する。

$\frac{1}{(z-1{)}^2}$ の展開.
$$\frac{1}{(z-1{)}^2}=\frac{1}{z^2}\cdot \frac{1}{{\left(1-\frac{1}{z}\right)}^2}$$
であり、$|w|<1$ で $\frac{1}{(1-w{)}^2}=\sum _{m=0}^{\infty }(m+1)w^m$（等比級数を項別微分したもの）だから、$w=\frac{1}{z}$ として
$$\frac{1}{(z-1{)}^2}=\sum _{m=0}^{\infty }(m+1)z^{-(m+2)}=z^{-2}+2z^{-3}+3z^{-4}+\cdots (|z|>1).$$

$e^{1/z}$ の展開. すべての $z\ne 0$ で
$$e^{1/z}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{z}^{-k}=1+z^{-1}+\frac{1}{2}{z}^{-2}+\frac{1}{6}{z}^{-3}+\cdots .$$

積の係数. 両方とも $|z|>1$ で絶対収束するので、積をとって整理できる。$z^{-4}$ の項は $z^{-k}$（$e^{1/z}$ 側）と $z^{-(m+2)}$（$\frac{1}{(z-1{)}^2}$ 側）で $k+m+2=4$、すなわち $k+m=2$ となる組から出る。
- $k=0,m=2$: $1\cdot 3=3$
- $k=1,m=1$: $1\cdot 2=2$
- $k=2,m=0$: $\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

よって
$$c_{-4}=3+2+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}.$$

（参考: 一般に $n\ge 2$ で $c_{-n}=\sum _{k=0}^{n-2}\frac{n-1-k}{k!}$ であり、$c_{-1}=c_0=c_1=\cdots =0$ となる。この展開は $z=0$ の近くの展開ではないので、無限個の負べきが現れることから直ちに $z=0$ が真性特異点だとは言えないが、$0<|z|<1$ での展開を考えると $z=0$ が真性特異点であることが確かめられる。）

$|z|>1$ では $e^{1/z}={\sum }_{m\ge 0}\frac{z^{-m}}{m!}$、$\frac{1}{(z-1{)}^2}=\frac{z^{-2}}{(1-z^{-1}{)}^2}={\sum }_{k\ge 0}(k+1)z^{-k-2}$。積の $z^{-4}$ の係数は $m+k+2=4$、すなわち $m+k=2$ の項の和: $(m,k)=(0,2)$: $\frac{1}{0!}\cdot 3=3$、$(1,1)$: $\frac{1}{1!}\cdot 2=2$、$(2,0)$: $\frac{1}{2!}\cdot 1=\frac{1}{2}$。合計 $c_{-4}=3+2+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$。