複素関数の問題

$F(z)=4z^3-e^z$ とおくと、求めるものは $|z|<1$ における $F$ の零点の個数（重複度込み）である。$F$ は複素平面全体で正則である。

$g(z)=4z^3$、$h(z)=-e^z$ とおき、$F=g+h$ と分ける。円 $|z|=1$ 上で
- $|g(z)|=4|z{|}^3=4$
- $z=x+iy$ とすると $|h(z)|=|e^z|=e^x$ であり、$|z|=1$ 上では $x\le 1$ なので $|h(z)|\le e<4$

よって $|z|=1$ 上で $|h(z)|<|g(z)|$ が成り立つ。ルーシェの定理により、$F=g+h$ と $g$ は $|z|<1$ に（重複度込みで）同じ個数の零点をもつ。

$g(z)=4z^3$ は $z=0$ に $3$ 位の零点をもち、それ以外に零点はないので、$|z|<1$ における零点の個数は $3$ である。

したがって、$e^z=4z^3$ の $|z|<1$ における解の個数は重複度を込めて $3$ 個である。

（参考: $F(z)=F^{\prime }(z)=0$ となるには $4z^3=e^z=12z^2$ が必要で $z=0$ または $z=3$ だが、どちらも $F(z)\ne 0$ なので、この $3$ 個の解はすべて単解であり互いに異なる。）

$|z|=1$ 上で $|4z^3|=4$, $|e^z|=e^{\mathrm{Re}z}\le e<4$。よってルーシェの定理より、$4z^3-e^z$ は $4z^3$ と $|z|<1$ で同数の零点（重複度込み）をもつ。$4z^3$ は $z=0$ に 3 重の零点をもつので、答えは 3。検算: 実数解 $e^x=4x^3$ は $x\approx 0.9$ 付近ではなく、$x=1$ で $e<4$, $x=0.5$ で $e^{0.5}=1.65>0.5$ なので $(0.5,1)$ に実解が 1 個ある。残り 2 個は複素共役の組として $|z|<1$ 内にある、という見積もりと矛盾しない。