複素関数の問題

方針. ルーシェの定理を円周 $|z|=1$ と $|z|=2$ に適用して、それぞれの円板内の零点の個数を数える。そのうえで、$|z|<1$ 内の零点が実数であることを中間値の定理で示す。

ステップ 1（$|z|<1$ 内の零点の個数）. $f(z)=-3z$、$g(z)=z^n+1$ とおく。どちらも多項式なので $\mathbb{C}$ 全体で正則で、$f+g=p$ である。円周 $|z|=1$ 上では
$$|g(z)|=|z^n+1|\le |z{|}^n+1=2,|f(z)|=3|z|=3$$
なので $|g(z)|\le 2<3=|f(z)|$ が成り立つ。ルーシェの定理より、$p$ の $|z|<1$ 内の零点の個数（重複度込み）は $f(z)=-3z$ の $|z|<1$ 内の零点の個数に等しい。$f$ の零点は $z=0$（$1$ 位）だけなので、その個数は $1$ である。よって $p$ は $|z|<1$ にちょうど $1$ 個の零点をもち、しかもそれは単純零点である。この零点を $\alpha$ とする。

ステップ 2（$\alpha$ は $(0,1)$ 内の実数）. $p$ を実数 $x\in [0,1]$ に制限した $q(x)=x^n-3x+1$ は実数値の連続関数で、
$$q(0)=1>0,q(1)=1-3+1=-1<0$$
である。中間値の定理より、ある $c\in (0,1)$ で $q(c)=0$、すなわち $p(c)=0$ となる。$|c|<1$ なので $c$ は $p$ の $|z|<1$ 内の零点であるが、ステップ 1 よりそのような零点は $\alpha$ ただ $1$ つなので $\alpha =c$ である。したがって $\alpha$ は開区間 $(0,1)$ に属する実数である。

ステップ 3（円周 $|z|=1$ 上に零点はない）. $|z|=1$ のとき、三角不等式より
$$|p(z)|=|-3z+(z^n+1)|\ge 3|z|-|z^n+1|\ge 3-2=1>0$$
なので、$p$ は $|z|=1$ 上に零点をもたない。

ステップ 4（$|z|<2$ 内の零点の個数）. 今度は $F(z)=z^n$、$G(z)=-3z+1$ とおく。どちらも $\mathbb{C}$ 全体で正則で、$F+G=p$ である。円周 $|z|=2$ 上では
$$|G(z)|=|-3z+1|\le 3|z|+1=7,|F(z)|=|z{|}^n=2^n$$
であり、$n\ge 3$ より $2^n\ge 8>7$ なので $|G(z)|<|F(z)|$ が成り立つ。ルーシェの定理より、$p$ の $|z|<2$ 内の零点の個数は $F(z)=z^n$ の $|z|<2$ 内の零点の個数に等しい。$F$ の零点は $z=0$（$n$ 位）だけなので、その個数は $n$ である。

ステップ 5（まとめ）. 代数学の基本定理より、$n$ 次多項式 $p$ の零点は $\mathbb{C}$ 内に重複度込みでちょうど $n$ 個ある。ステップ 4 より、その $n$ 個すべてが $|z|<2$ に含まれる。そのうち $|z|<1$ にあるのはステップ 1 より $1$ 個（$\alpha$）、$|z|=1$ 上にあるのはステップ 3 より $0$ 個である。したがって残りの $n-1$ 個は $1<|z|<2$ に含まれる。

以上より、$p(z)=z^n-3z+1$（$n\ge 3$）の零点は、$|z|<1$ にちょうど $1$ 個あってそれは $(0,1)$ 内の実数であり、残りの $n-1$ 個はすべて円環 $1<|z|<2$ に含まれる。$■$