レベル 1 のモジュラー形式の空間の次元

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $40$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_{40}=S_{40}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ とする。${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{40}$ を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数の $q$ 展開
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_8=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_7(n)q^n$$
を用いる。重さ $8$ の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関するモジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^5{\sigma }_3(m){\sigma }_3(6-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数 $$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$ はそれぞれ重さ $4,6,10$ のモジュラー形式である（$q=e^{2\pi i\tau }$）。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、$$\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と非負整数 $k$ に対し ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とおく。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、
$$E_4(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}(\tau )=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $E_4,E_{10},E_{14}$ はそれぞれ $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,10,14$ の正則モジュラー形式である。
• 重さ $k$ と重さ $l$ の正則モジュラー形式の積は重さ $k+l$ の正則モジュラー形式である。
• $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $14$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間 $M_{14}$ は $1$ 次元である。
• $|q|<1$ で絶対収束する $q$ の冪級数で表される関数について、2 つの表示が一致すれば各係数も一致する（冪級数展開の一意性）。

このとき、すべての正の整数 $n$ に対して、整数
$${\sigma }_{13}(n)-11{\sigma }_9(n)+10{\sigma }_3(n)$$
は $2640$ で割り切れることを証明せよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とし、
$$E_2=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_1(n)q^n,E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
とおく。$E_4,E_6$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6$ の正則モジュラー形式であり、$E_2$ はモジュラー形式ではない。$D=q\frac{d}{dq}=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau }$ とし、重さ $k$ の正則モジュラー形式 $f$ に対して ${\vartheta }_{k}f=Df-\frac{k}{12}{E}_{2}f$ は重さ $k+2$ の正則モジュラー形式になること（セールの微分）、および ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $6$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上の線形空間は $1$ 次元であることを用いてよい。

このとき
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_1(m){\sigma }_3(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6,10$ の正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi iz}$（$z$ は上半平面の点）を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と展開される。モジュラー形式の理論を用いて、
$$T=\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$
の値を求めよ。

整数 $k$ に対し、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則なカスプ形式全体のなす複素ベクトル空間を $S_k=S_k({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ とする。$$N=\sum _{j=1}^{30}{\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{2j}=\dim S_2+\dim S_4+\cdots +\dim S_{60}$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
を考える。$E_k$ は重さ $k$ のモジュラー形式であり、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式の空間の次元についての既知の結果は用いてよい。

$p$ を素数とするとき、
$$S(p)=\sum _{m=1}^{p-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(p-m)$$
を $p$ の式で表せ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。

${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、$M_k$ で ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の（正則な）モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間を表す。$f\in M_k$, $f\ne 0$ に対して、${\tau }_0\in \mathbb{H}$ における $f$ の零点の位数を ${\mathrm{ord}}_{{\tau }_0}f$、$q=e^{2\pi i\tau }$ による展開 $f={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{q}^n$ において $a_n\ne 0$ となる最小の $n$ を ${\mathrm{ord}}_{\infty }f$ とする。$\rho =e^{2\pi i/3}$ とし、
$$V=\{0\}\cup \{f\in M_{200}\setminus \{0\}|{\mathrm{ord}}_{\infty }f\ge 5,{\mathrm{ord}}_{i}f\ge 3,{\mathrm{ord}}_{\rho }f\ge 7\}$$
とおく。$V$ は $M_{200}$ の部分空間である。${\dim }_{\mathbb{C}}V$ を求めよ。

整数 $k$ に対し、$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_k$ は、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ に対して $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ をみたし、$q=e^{2\pi i\tau }$ について $|q|<1$ で収束する展開 $f(\tau )={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(f)q^n$ をもつもの全体である。$d_k={\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k$ とおく。

次の事実は用いてよい。

• $k<0$ のとき $M_k=\{0\}$ である。
• $k\ge 0$ が偶数のとき、$k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ ならば $d_k=\lfloor k/12\rfloor$、そうでなければ $d_k=\lfloor k/12\rfloor +1$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $|q|<1$ で広義一様収束して、$\mathbb{H}$ 上で $\Delta (\tau )\ne 0$ である。

偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対し
$$M_k^{(m)}=\{f\in M_k\mid a_n(f)=0(0\le n\le m-1)\}$$
とおく（$m=0$ のときは $M_k^{(0)}=M_k$）。このとき、すべての偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k^{(m)}=\max (d_k-m,0)$$
が成り立つことを証明せよ。

$\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ を上半平面、$\Gamma =S{L}_2(\mathbb{Z})$ とし、$q=e^{2\pi i\tau }$、$\rho =e^{2\pi i/3}$ とする。整数 $k$ に対し、$M_k$ を次の条件をみたす関数 $f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ 全体のなす複素ベクトル空間とする。
- $f$ は $\mathbb{H}$ 上で正則である。
- すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対し $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ である。
- 単位円板 $|q|<1$ 上の正則関数 $F$ で、$f(\tau )=F(e^{2\pi i\tau })$ となるものが存在する。

$0\ne f\in M_k$ と $p\in \mathbb{H}$ に対し、$v_p(f)$ を $f$ の $p$ における零点の位数、$v_{\infty }(f)$ を $F$ の $q=0$ における零点の位数とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

- (a)（零点の個数の公式）$0\ne f\in M_k$ ならば、$\Gamma$ による $\mathbb{H}$ の軌道のうち $i,\rho$ の軌道以外のものから代表元を 1 つずつとって $p$ を動かすとき
$$v_{\infty }(f)+\frac{1}{2}{v}_i(f)+\frac{1}{3}{v}_{\rho }(f)+\sum _p{v}_p(f)=\frac{k}{12}$$
が成り立つ（左辺の和は有限和である）。
- (b) $E_4\in M_4$, $E_6\in M_6$ であり、それぞれの $q$ 展開の定数項は $1$ である。

$k\ge 14$ を $k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ をみたす整数とする。このとき、任意の $f\in M_k$ に対し、$f=E_4^2{E}_{6}g$ をみたす $g\in M_{k-14}$ が存在することを証明せよ。

$\mathbb{H}$ を上半平面、$q=e^{2\pi i\tau }(\tau \in \mathbb{H})$ とする。正の整数 $n$ と整数 $r\ge 0$ に対し ${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とおく。$B_k$ をベルヌーイ数とし、$B_4=-\frac{1}{30}$、$B_{16}=-\frac{3617}{510}$ である。偶数 $k\ge 4$ に対し
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n$$
とおく。$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式の（複素）ベクトル空間とする。次の事実は用いてよい。

• 各 $f\in M_k$ は、$|q|<1$ で収束する $q$ の冪級数 ${\sum }_{n\ge 0}{c}_n{q}^n$ により $f(\tau )={\sum }_{n\ge 0}{c}_n{e}^{2\pi in\tau }$ と表され（$q$ 展開）、その係数 $c_n$ は $f$ から一意に定まる。
• 偶数 $k\ge 4$ に対し $E_k\in M_k$ であり、$f\in M_k$, $g\in M_l$ ならば $fg\in M_{k+l}$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ に属し、その $q$ 展開を $\Delta ={\sum }_{n\ge 1}t(n)q^n$ と書くと、すべての $n$ で $t(n)\in \mathbb{Z}$ であり、$t(1)=1$ である。
• ${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_{16}=2$ である。

$\Delta E_4\in M_{16}$ の $q$ 展開を $\Delta (\tau )E_4(\tau )={\sum }_{n\ge 1}a(n)q^n$ と書く。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$a(n)\equiv {\sigma }_{15}(n)(\mathrm{mod}3617)$$
が成り立つことを証明せよ。