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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n, d > 0} d^{k}$ とする。上半平面 $H$ 上で $q = e^{2 π i τ}$ （ $τ \in H$ ）とおき、 $SL_{2} (Z)$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$E_{4} = 1 + 240 n = 1 \sum \infty σ_{3} (n) q^{n}, E_{6} = 1 - 504 n = 1 \sum \infty σ_{5} (n) q^{n}, E_{10} = 1 - 264 n = 1 \sum \infty σ_{9} (n) q^{n}$
を考える。 $E_{k}$ は重さ $k$ のモジュラー形式であり、 $SL_{2} (Z)$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式の空間の次元についての既知の結果は用いてよい。

$p$ を素数とするとき、
$S (p) = m = 1 \sum p - 1 σ_{3} (m) σ_{5} (p - m)$
を $p$ の式で表せ。

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ヒント

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ヒント 1

$E_{4} E_{6}$ がどの重さのモジュラー形式になるかを考え、その重さのモジュラー形式の空間の次元を調べよう。

ヒント 2

$dim M_{10} = 1$ なので、定数項を比べると $E_{4} E_{6} = E_{10}$ となる。両辺の $q^{n}$ の係数を比較すると、畳み込み和 $\sum σ_{3} (m) σ_{5} (n - m)$ が $σ_{3} (n), σ_{5} (n), σ_{9} (n)$ で表せる。

ヒント 3

係数比較から $\sum_{m = 1}^{n - 1} σ_{3} (m) σ_{5} (n - m) = \frac{240 σ _{3} ( n ) - 504 σ _{5} ( n ) + 264 σ _{9} ( n )}{120960}$ 。あとは $n = p$ のとき $σ_{k} (p) = 1 + p^{k}$ を代入して整理する。

答えと解説

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\frac{11 p ^{9} - 21 p ^{5} + 10 p ^{3}}{5040}

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解説を読む

$E_{4} E_{6} = E_{10}$ であること $E_{4}$ は重さ $4$ 、 $E_{6}$ は重さ $6$ のモジュラー形式なので、積 $E_{4} E_{6}$ は重さ $10$ のモジュラー形式である。 $SL_{2} (Z)$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式の空間 $M_{k}$ の次元は、 $k \geq 0$ が偶数のとき
$dim M_{k} = {⌊ k /12 ⌋ ⌊ k /12 ⌋ + 1 (k \equiv 2 (mod 12)) (それ以外)$
であり、 $dim M_{10} = 0 + 1 = 1$ である。 $M_{10}$ は $E_{10}$ で張られ、 $E_{4} E_{6}$ も $E_{10}$ も定数項が $1$ なので
$E_{4} E_{6} = E_{10}$
が成り立つ。

係数の比較 正の整数 $n$ について $q^{n}$ の係数を比べる。左辺は
$(1 + 240 \sum σ_{3} (n) q^{n}) (1 - 504 \sum σ_{5} (n) q^{n})$
なので、 $q^{n}$ の係数は
$240 σ_{3} (n) - 504 σ_{5} (n) - 240 \cdot 504 m = 1 \sum n - 1 σ_{3} (m) σ_{5} (n - m)$
である。右辺の $q^{n}$ の係数は $- 264 σ_{9} (n)$ である。 $240 \cdot 504 = 120960$ だから
$m = 1 \sum n - 1 σ_{3} (m) σ_{5} (n - m) = \frac{240 σ _{3} ( n ) - 504 σ _{5} ( n ) + 264 σ _{9} ( n )}{120960} .$

$n = p$ （素数）の場合 $p$ の正の約数は $1, p$ だけなので $σ_{k} (p) = 1 + p^{k}$ 。代入すると、定数部分は $240 - 504 + 264 = 0$ で消え、
$S (p) = \frac{240 p ^{3} - 504 p ^{5} + 264 p ^{9}}{120960} .$
分子・分母を $24$ で割ると $240/24 = 10$ 、 $504/24 = 21$ 、 $264/24 = 11$ 、 $120960/24 = 5040$ なので
$S (p) = \frac{11 p ^{9} - 21 p ^{5} + 10 p ^{3}}{5040} .$

検算 $p = 2$ ： $S (2) = σ_{3} (1) σ_{5} (1) = 1$ 。式では $\frac{11 \cdot 512 - 21 \cdot 32 + 10 \cdot 8}{5040} = \frac{5632 - 672 + 80}{5040} = 1$ 。
$p = 3$ ： $S (3) = σ_{3} (1) σ_{5} (2) + σ_{3} (2) σ_{5} (1) = 33 + 9 = 42$ 。式では $\frac{11 \cdot 19683 - 21 \cdot 243 + 10 \cdot 27}{5040} = \frac{216513 - 5103 + 270}{5040} = \frac{211680}{5040} = 42$ 。どちらも一致する。

別解

$M_{10} (SL_{2} (Z))$ の次元は 1 であり、 $E_{4} E_{6}$ も $E_{10}$ も重さ 10 のモジュラー形式で定数項がともに 1 なので $E_{4} E_{6} = E_{10}$ 。
$A = \sum σ_{3} (n) q^{n}$ , $B = \sum σ_{5} (n) q^{n}$ とおくと $E_{4} E_{6} = (1 + 240 A) (1 - 504 B) = 1 + 240 A - 504 B - 120960 A B$ 。
$q^{p}$ の係数を比べる（ $A B$ の $q^{p}$ の係数は $\sum_{m = 1}^{p - 1} σ_{3} (m) σ_{5} (p - m) = S (p)$ ）:
$240 σ_{3} (p) - 504 σ_{5} (p) - 120960 S (p) = - 264 σ_{9} (p)$ 。
$p$ が素数なので $σ_{3} (p) = 1 + p^{3}$ , $σ_{5} (p) = 1 + p^{5}$ , $σ_{9} (p) = 1 + p^{9}$ 。
$120960 S (p) = 240 (1 + p^{3}) - 504 (1 + p^{5}) + 264 (1 + p^{9}) = 240 p^{3} - 504 p^{5} + 264 p^{9}$ （定数項は $240 - 504 + 264 = 0$ ）。
$24$ で割り $S (p) = \frac{10 p ^{3} - 21 p ^{5} + 11 p ^{9}}{5040}$ 。
検算: $p = 2$ : $(80 - 672 + 5632) /5040 = 1 = σ_{3} (1) σ_{5} (1)$ 。 $p = 3$ : $(270 - 5103 + 216513) /5040 = 42$ 、直接計算 $σ_{3} (1) σ_{5} (2) + σ_{3} (2) σ_{5} (1) = 33 + 9 = 42$ で一致。

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