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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n, d > 0} d^{k}$ とする。 $SL_{2} (Z)$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、 $q = e^{2 π i τ}$ を用いて
$E_{4} = 1 + 240 n = 1 \sum \infty σ_{3} (n) q^{n}, E_{6} = 1 - 504 n = 1 \sum \infty σ_{5} (n) q^{n}, E_{10} = 1 - 264 n = 1 \sum \infty σ_{9} (n) q^{n}$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$S = m = 1 \sum 11 σ_{3} (m) σ_{5} (12 - m)$
の値を求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

$E_{4} E_{6}$ は重さ $10$ のモジュラー形式である。 $M_{10}$ が $1$ 次元であることから $E_{4} E_{6}$ と $E_{10}$ の関係を決めよう。

ヒント 2

$E_{4} E_{6} = E_{10}$ の両辺の $q^{12}$ の係数を比べると、 $S$ が $σ_{3} (12), σ_{5} (12), σ_{9} (12)$ で表せる。

ヒント 3

係数比較から $S = \frac{10 σ _{3} ( 12 ) - 21 σ _{5} ( 12 ) + 11 σ _{9} ( 12 )}{5040}$ が得られる。あとは $σ_{3} (12) = 2044$ , $σ_{5} (12) = 257908$ と $σ_{9} (12)$ を計算する。

答えと解説

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11282966

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解説を読む

1. 恒等式 $E_{4} E_{6} = E_{10}$ . $E_{4} E_{6}$ は重さ $4 + 6 = 10$ のモジュラー形式で、定数項は $1$ 。重さ $10$ のモジュラー形式の空間 $M_{10}$ は $1$ 次元で $E_{10}$ で張られるので、 $E_{4} E_{6} = E_{10}$ 。

2. 係数比較. $n \geq 1$ に対して $q^{n}$ の係数を比べると
$240 σ_{3} (n) - 504 σ_{5} (n) - 240 \cdot 504 m = 1 \sum n - 1 σ_{3} (m) σ_{5} (n - m) = - 264 σ_{9} (n) .$
$240 \cdot 504 = 120960$ であり、両辺を $24$ で割って整理すると
$m = 1 \sum n - 1 σ_{3} (m) σ_{5} (n - m) = \frac{10 σ _{3} ( n ) - 21 σ _{5} ( n ) + 11 σ _{9} ( n )}{5040} .$

3. $n = 12$ での値. $12$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 。
- $σ_{3} (12) = 1 + 8 + 27 + 64 + 216 + 1728 = 2044$
- $σ_{5} (12) = 1 + 32 + 243 + 1024 + 7776 + 248832 = 257908$
- $σ_{9}$ は乗法的なので $σ_{9} (12) = σ_{9} (4) σ_{9} (3) = (1 + 512 + 262144) (1 + 19683) = 262657 \cdot 19684 = 5170140388$

よって分子は
$10 \cdot 2044 - 21 \cdot 257908 + 11 \cdot 5170140388 = 20440 - 5416068 + 56871544268 = 56866148640,$
$S = \frac{56866148640}{5040} = 11282966.$

4. 検算（直接計算）. $σ_{3} (1), \dots, σ_{3} (11) = 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, 1332$ 、 $σ_{5} (1), \dots, σ_{5} (11) = 1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, 103158, 161052$ より
$S = 161052 + 928422 + 1660204 + 2469225 + 2117808 + 2029104 + 1075344 + 618345 + 184708 + 37422 + 1332 = 11282966$
となり一致する。

別解

$dim M_{10} = 1$ で $E_{4} E_{6}$ と $E_{10}$ は重さ 10 で定数項が 1 なので $E_{4} E_{6} = E_{10}$ 。 $q^{12}$ の係数を比べる。
左辺: $(1 + 240 A) (1 - 504 B)$ （ $A = \sum σ_{3} (n) q^{n}$ , $B = \sum σ_{5} (n) q^{n}$ ）の係数は $240 σ_{3} (12) - 504 σ_{5} (12) - 240 \cdot 504 S$ 。右辺は $- 264 σ_{9} (12)$ 。
$σ_{3} (12) = σ_{3} (4) σ_{3} (3) = 73 \cdot 28 = 2044$ , $σ_{5} (12) = 1057 \cdot 244 = 257908$ , $σ_{9} (12) = σ_{9} (4) σ_{9} (3) = 262657 \cdot 19684 = 5170140388$ 。
$120960 S = 240 \cdot 2044 - 504 \cdot 257908 + 264 \cdot 5170140388 = 490560 - 129985632 + 1364917062432 = 1364787567360$ 。
$S = 1364787567360/120960 = 11282966$ 。
検算（直接計算）: $σ_{3} (1..11) = 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, 1332$ , $σ_{5} (11..1) = 161052, 103158, 59293, 33825, 16808, 8052, 3126, 1057, 244, 33, 1$ 。積は $161052, 928422, 1660204, 2469225, 2117808, 2029104, 1075344, 618345, 184708, 37422, 1332$ で、和は $11282966$ となり一致する。

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