次元 1 の空間による約数関数の恒等式

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
を考える。重さ $14$ の正則モジュラー形式の空間 $M_{14}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ が $1$ 次元であることを用いて、
$$\sum _{m=1}^3{\sigma }_3(m){\sigma }_9(4-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数の $q$ 展開
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_8=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_7(n)q^n$$
を用いる。重さ $8$ の ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関するモジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^5{\sigma }_3(m){\sigma }_3(6-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi i\tau }$ を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と表される。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、
$$S=\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数 $$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$ はそれぞれ重さ $4,6,10$ のモジュラー形式である（$q=e^{2\pi i\tau }$）。重さ $10$ のモジュラー形式の空間が $1$ 次元であることを用いて、$$\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ と非負整数 $k$ に対し ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とおく。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、
$$E_4(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}(\tau )=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $E_4,E_{10},E_{14}$ はそれぞれ $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,10,14$ の正則モジュラー形式である。
• 重さ $k$ と重さ $l$ の正則モジュラー形式の積は重さ $k+l$ の正則モジュラー形式である。
• $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $14$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間 $M_{14}$ は $1$ 次元である。
• $|q|<1$ で絶対収束する $q$ の冪級数で表される関数について、2 つの表示が一致すれば各係数も一致する（冪級数展開の一意性）。

このとき、すべての正の整数 $n$ に対して、整数
$${\sigma }_{13}(n)-11{\sigma }_9(n)+10{\sigma }_3(n)$$
は $2640$ で割り切れることを証明せよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,6,10$ の正規化されたアイゼンシュタイン級数は、$q=e^{2\pi iz}$（$z$ は上半平面の点）を用いて
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
と展開される。モジュラー形式の理論を用いて、
$$T=\sum _{m=1}^9{\sigma }_3(m){\sigma }_5(10-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$（$k\ge 4$ は偶数）の正規化されたアイゼンシュタイン級数を
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n,q=e^{2\pi i\tau }$$
とする。ここで $B_k$ はベルヌーイ数で、$B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_{10}=\frac{5}{66}$ である。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $10$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることは用いてよい。

$$\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$（$\tau \in \mathbb{H}$）とおき、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する正規化されたアイゼンシュタイン級数
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n,E_{10}=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n$$
を考える。$E_k$ は重さ $k$ のモジュラー形式であり、${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ のモジュラー形式の空間の次元についての既知の結果は用いてよい。

$p$ を素数とするとき、
$$S(p)=\sum _{m=1}^{p-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(p-m)$$
を $p$ の式で表せ。

$\mathbb{H}$ を上半平面、$q=e^{2\pi i\tau }(\tau \in \mathbb{H})$ とする。正の整数 $n$ と整数 $r\ge 0$ に対し ${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とおく。$B_k$ をベルヌーイ数とし、$B_4=-\frac{1}{30}$、$B_{16}=-\frac{3617}{510}$ である。偶数 $k\ge 4$ に対し
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n$$
とおく。$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式の（複素）ベクトル空間とする。次の事実は用いてよい。

• 各 $f\in M_k$ は、$|q|<1$ で収束する $q$ の冪級数 ${\sum }_{n\ge 0}{c}_n{q}^n$ により $f(\tau )={\sum }_{n\ge 0}{c}_n{e}^{2\pi in\tau }$ と表され（$q$ 展開）、その係数 $c_n$ は $f$ から一意に定まる。
• 偶数 $k\ge 4$ に対し $E_k\in M_k$ であり、$f\in M_k$, $g\in M_l$ ならば $fg\in M_{k+l}$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ に属し、その $q$ 展開を $\Delta ={\sum }_{n\ge 1}t(n)q^n$ と書くと、すべての $n$ で $t(n)\in \mathbb{Z}$ であり、$t(1)=1$ である。
• ${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_{16}=2$ である。

$\Delta E_4\in M_{16}$ の $q$ 展開を $\Delta (\tau )E_4(\tau )={\sum }_{n\ge 1}a(n)q^n$ と書く。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$a(n)\equiv {\sigma }_{15}(n)(\mathrm{mod}3617)$$
が成り立つことを証明せよ。