楕円関数・モジュラー形式の問題

正の整数 $n$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$（$k\ge 4$ は偶数）の正規化されたアイゼンシュタイン級数を
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n,q=e^{2\pi i\tau }$$
とする。ここで $B_k$ はベルヌーイ数で、$B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42},B_{10}=\frac{5}{66}$ である。${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $10$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間の次元が $1$ であることは用いてよい。

$$\sum _{m=1}^{11}{\sigma }_3(m){\sigma }_5(12-m)$$
の値を求めよ。

整数 $k$ に対し、$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_k$ は、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ に対して $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ をみたし、$q=e^{2\pi i\tau }$ について $|q|<1$ で収束する展開 $f(\tau )={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(f)q^n$ をもつもの全体である。$d_k={\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k$ とおく。

次の事実は用いてよい。

• $k<0$ のとき $M_k=\{0\}$ である。
• $k\ge 0$ が偶数のとき、$k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ ならば $d_k=\lfloor k/12\rfloor$、そうでなければ $d_k=\lfloor k/12\rfloor +1$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $|q|<1$ で広義一様収束して、$\mathbb{H}$ 上で $\Delta (\tau )\ne 0$ である。

偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対し
$$M_k^{(m)}=\{f\in M_k\mid a_n(f)=0(0\le n\le m-1)\}$$
とおく（$m=0$ のときは $M_k^{(0)}=M_k$）。このとき、すべての偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k^{(m)}=\max (d_k-m,0)$$
が成り立つことを証明せよ。

正の整数 $n$ と非負整数 $k$ に対し ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とおく。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とし、
$$E_4(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_{10}(\tau )=1-264\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_9(n)q^n,E_{14}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{13}(n)q^n$$
とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $E_4,E_{10},E_{14}$ はそれぞれ $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $4,10,14$ の正則モジュラー形式である。
• 重さ $k$ と重さ $l$ の正則モジュラー形式の積は重さ $k+l$ の正則モジュラー形式である。
• $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $14$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間 $M_{14}$ は $1$ 次元である。
• $|q|<1$ で絶対収束する $q$ の冪級数で表される関数について、2 つの表示が一致すれば各係数も一致する（冪級数展開の一意性）。

このとき、すべての正の整数 $n$ に対して、整数
$${\sigma }_{13}(n)-11{\sigma }_9(n)+10{\sigma }_3(n)$$
は $2640$ で割り切れることを証明せよ。

$\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ を上半平面、$\Gamma =S{L}_2(\mathbb{Z})$ とし、$q=e^{2\pi i\tau }$、$\rho =e^{2\pi i/3}$ とする。整数 $k$ に対し、$M_k$ を次の条件をみたす関数 $f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}$ 全体のなす複素ベクトル空間とする。
- $f$ は $\mathbb{H}$ 上で正則である。
- すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \Gamma$ と $\tau \in \mathbb{H}$ に対し $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ である。
- 単位円板 $|q|<1$ 上の正則関数 $F$ で、$f(\tau )=F(e^{2\pi i\tau })$ となるものが存在する。

$0\ne f\in M_k$ と $p\in \mathbb{H}$ に対し、$v_p(f)$ を $f$ の $p$ における零点の位数、$v_{\infty }(f)$ を $F$ の $q=0$ における零点の位数とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

- (a)（零点の個数の公式）$0\ne f\in M_k$ ならば、$\Gamma$ による $\mathbb{H}$ の軌道のうち $i,\rho$ の軌道以外のものから代表元を 1 つずつとって $p$ を動かすとき
$$v_{\infty }(f)+\frac{1}{2}{v}_i(f)+\frac{1}{3}{v}_{\rho }(f)+\sum _p{v}_p(f)=\frac{k}{12}$$
が成り立つ（左辺の和は有限和である）。
- (b) $E_4\in M_4$, $E_6\in M_6$ であり、それぞれの $q$ 展開の定数項は $1$ である。

$k\ge 14$ を $k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ をみたす整数とする。このとき、任意の $f\in M_k$ に対し、$f=E_4^2{E}_{6}g$ をみたす $g\in M_{k-14}$ が存在することを証明せよ。

正の整数 $n$ に対して $\sigma (n)={\sum }_{d\mid n,d>0}d$ とし、$n$ が正の整数でないときは $\sigma (n)=0$ と定める。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、
$$\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2},E_2(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)q^n$$
とする。次の事実を用いてよい。

• $f(\tau )=\theta (\tau {)}^2\theta (2\tau {)}^2$ は ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
• ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、$E_2(\tau )-2E_2(2\tau )$, $E_2(\tau )-4E_2(4\tau )$, $E_2(\tau )-8E_2(8\tau )$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、$r(N)$ を
$$x^2+y^2+2z^2+2w^2=N$$
を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とする。$r(2024)$ を求めよ。