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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学楕円関数・モジュラー形式

整数 $k$ に対し、 $M_{k}$ を $S L_{2} (Z)$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_{k}$ は、上半平面 $H$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $(a c b d) \in S L_{2} (Z)$ に対して $f (\frac{a τ + b}{c τ + d}) = (c τ + d)^{k} f (τ)$ をみたし、 $q = e^{2 π i τ}$ について $∣ q ∣ < 1$ で収束する展開 $f (τ) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (f) q^{n}$ をもつもの全体である。 $d_{k} = dim_{C} M_{k}$ とおく。

次の事実は用いてよい。

$k < 0$ のとき $M_{k} = {0}$ である。
$k \geq 0$ が偶数のとき、 $k \equiv 2 (mod 12)$ ならば $d_{k} = ⌊ k /12 ⌋$ 、そうでなければ $d_{k} = ⌊ k /12 ⌋ + 1$ である。
$Δ (τ) = q \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{n})^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $∣ q ∣ < 1$ で広義一様収束して、 $H$ 上で $Δ (τ) \neq = 0$ である。

偶数 $k \geq 0$ と整数 $m \geq 0$ に対し
$M_{k}^{(m)} = {f \in M_{k} ∣ a_{n} (f) = 0 (0 \leq n \leq m - 1)}$
とおく（ $m = 0$ のときは $M_{k}^{(0)} = M_{k}$ ）。このとき、すべての偶数 $k \geq 0$ と整数 $m \geq 0$ に対して
$dim_{C} M_{k}^{(m)} = max (d_{k} - m, 0)$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（93 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$M_{k}^{(m)}$ をより重さの小さいモジュラー形式の空間と同一視することを考える。 $q$ 展開が $q^{m}$ から始まる形式を、 $q$ 展開が $q^{m}$ から始まる別の形式で割るとどうなるか。

ヒント 2

$Δ^{m} = q^{m} \prod (1 - q^{n})^{24 m}$ であり、 $Δ$ は $H$ 上で零点をもたない。 $f \mapsto f / Δ^{m}$ が $M_{k}^{(m)}$ から $M_{k - 12 m}$ への線形同型になることを示す。

ヒント 3

$f \in M_{k}^{(m)}$ なら $f = q^{m} F (q)$ と書けるので $f / Δ^{m} = F (q) / \prod (1 - q^{n})^{24 m}$ は $q = 0$ でも正則で、変換則の重さは $k - 12 m$ になる。あとは $k - 12 m < 0$ と $k - 12 m \geq 0$ に分けて $d_{k - 12 m}$ を計算する。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$Δ^{m} = q^{m} G (q)$ で $G$ が $∣ q ∣ < 1$ で正則かつ零点をもたない（特に $G (0) = 1$ ）ことを確認している（2 点）
$f \in M_{k}^{(m)}$ に対し $f / Δ^{m}$ が $H$ 上正則で重さ $k - 12 m$ の変換則をみたし、 $f = q^{m} F (q)$ を用いて $\infty$ でも正則であることを示している（3 点）
逆写像 $g \mapsto g Δ^{m}$ が $M_{k - 12 m}$ を $M_{k}^{(m)}$ の中に写すこと（ $q$ 展開が $q^{m}$ から始まること）を示し、 $dim M_{k}^{(m)} = d_{k - 12 m}$ を得ている（2 点）
$k - 12 m < 0$ の場合に $M_{k - 12 m} = 0$ と $d_{k} \leq m$ を示して両辺が $0$ で一致することを確かめている（1 点）
$k - 12 m \geq 0$ の場合に、 $12$ を法とする余りが変わらないことから次元公式の同じ場合を使い、 $d_{k - 12 m} = d_{k} - m$ を導いている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. $Δ^{m}$ で割る写像 $M_{k}^{(m)} \to M_{k - 12 m}$ が線形同型であることを示し、与えられた次元公式で $d_{k - 12 m}$ を計算する。

$M_{k}^{(m)}$ は線形条件 $a_{n} (f) = 0$ で定まるので $M_{k}$ の部分空間である（ $a_{n}$ は $f$ について線形）。

Step 1: $Δ^{m}$ の形. $G (q) = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{n})^{24 m}$ とおくと、仮定の広義一様収束より $G$ は $∣ q ∣ < 1$ で正則で、 $Δ (τ)^{m} = q^{m} G (q)$ である。 $G (0) = 1$ であり、 $0 < ∣ q ∣ < 1$ では $q^{m} G (q) = Δ^{m} \neq = 0$ より $G (q) \neq = 0$ なので、 $G$ は単位円板 $∣ q ∣ < 1$ 上で零点をもたない。よって $1/ G$ も $∣ q ∣ < 1$ で正則である。また、 $Δ \in M_{12}$ より、 $γ = (a c b d) \in S L_{2} (Z)$ に対し $Δ (γ τ)^{m} = (c τ + d)^{12 m} Δ (τ)^{m}$ である。

Step 2: 写像 $φ : M_{k}^{(m)} \to M_{k - 12 m}$ , $φ (f) = f / Δ^{m}$ が定義できること. $f \in M_{k}^{(m)}$ とする。 $Δ$ は $H$ 上で零点をもたないので $f / Δ^{m}$ は $H$ 上正則である。変換則は
$\frac{f ( γ τ )}{Δ ( γ τ ) ^{m}} = \frac{( c τ + d ) ^{k} f ( τ )}{( c τ + d ) ^{12 m} Δ ( τ ) ^{m}} = (c τ + d)^{k - 12 m} \frac{f ( τ )}{Δ ( τ ) ^{m}} .$
$\infty$ での振る舞い: $a_{n} (f) = 0 (n < m)$ より $f = \sum_{n \geq m} a_{n} (f) q^{n} = q^{m} F (q)$ 、 $F (q) = \sum_{j \geq 0} a_{m + j} (f) q^{j}$ は $∣ q ∣ < 1$ で収束する冪級数なので正則である。したがって $f / Δ^{m} = F (q) / G (q)$ であり、これは $∣ q ∣ < 1$ で正則な関数（ $q = 0$ を含む）なので、 $∣ q ∣ < 1$ で収束する $q$ の冪級数 $\sum_{n \geq 0} b_{n} q^{n}$ に展開される。以上で $f / Δ^{m} \in M_{k - 12 m}$ であり、 $φ$ は明らかに線形（ $f$ について線形な割り算）である。

Step 3: 逆写像 $ψ : M_{k - 12 m} \to M_{k}^{(m)}$ , $ψ (g) = g Δ^{m}$ . $g \in M_{k - 12 m}$ とすると $g Δ^{m}$ は $H$ 上正則で、 $g (γ τ) Δ (γ τ)^{m} = (c τ + d)^{k - 12 m} (c τ + d)^{12 m} g (τ) Δ (τ)^{m} = (c τ + d)^{k} g Δ^{m}$ をみたす。さらに $g = \sum_{n \geq 0} b_{n} q^{n}$ とすると $g Δ^{m} = q^{m} \cdot (G (q) \sum b_{n} q^{n})$ で、括弧内は $∣ q ∣ < 1$ で正則なので冪級数に展開でき、 $g Δ^{m}$ の $q$ 展開は $q^{m}$ 以上の項のみからなる。よって $g Δ^{m} \in M_{k}$ かつ $a_{n} (g Δ^{m}) = 0 (n < m)$ 、すなわち $g Δ^{m} \in M_{k}^{(m)}$ 。 $ψ \circ φ$ 、 $φ \circ ψ$ はともに恒等写像なので、 $φ$ は線形同型であり
$dim M_{k}^{(m)} = d_{k - 12 m} .$

Step 4: 次元の計算. 場合分けする。

(i) $k - 12 m < 0$ のとき: 仮定より $M_{k - 12 m} = {0}$ なので $dim M_{k}^{(m)} = 0$ 。一方 $k < 12 m$ より $k /12 < m$ なので $⌊ k /12 ⌋ \leq m - 1$ であり、次元公式から $d_{k} \leq ⌊ k /12 ⌋ + 1 \leq m$ 、よって $d_{k} - m \leq 0$ で $max (d_{k} - m, 0) = 0$ 。両辺は一致する。

(ii) $k - 12 m \geq 0$ のとき: $k^{'} = k - 12 m$ は $0$ 以上の偶数で、 $k^{'} \equiv k (mod 12)$ 、 $⌊ k^{'} /12 ⌋ = ⌊ k /12 ⌋ - m$ である。次元公式は $k$ を $12$ で割った余りが $2$ かどうかで場合が分かれるが、 $k$ と $k^{'}$ の余りは等しいので同じ場合の式が使え、どちらの場合も $d_{k^{'}} = d_{k} - m$ となる（ $k \equiv 2$ なら $⌊ k /12 ⌋ - m$ 、それ以外なら $⌊ k /12 ⌋ - m + 1$ ）。 $d_{k^{'}} \geq 0$ なので $d_{k} - m \geq 0$ であり、 $dim M_{k}^{(m)} = d_{k} - m = max (d_{k} - m, 0)$ 。

(i), (ii) で全ての場合が尽くされる。以上より、すべての偶数 $k \geq 0$ と整数 $m \geq 0$ に対して $dim M_{k}^{(m)} = max (d_{k} - m, 0)$ である。 $■$

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